—1— 数学三模拟试题（一）参考答案 一、填空题 (1) 答案 -f(0).

[解] 20000021)()(limcosln)()(limxdtttfdttfxxdttftxxxxxx

=).0(1)(lim)(lim000fxfxdttfxxx (2) 答案2e. [解] 令u = lnx，ueuf1)(，xexf1)(，所以，f (x) = x +xe+ C.

令t = 2x，210)2(dxxf=2)]0()1([21)(2110effdttf. (3) 答案 )258(92. [解] 原式=cos20242433224]sin31[sin38cos38ddrrd=)258(92. (4) 答案 12. [解] 由已知，|*A| =2||A= 36，A = |A|1)(A的特征值为6||,3||,2||AAA， 当|A| = 6时，A的特征值为3，2，1，B  E的特征值为2，3，2，所以，|B  E| = 12； 当|A| = 6时，A的特征值为3，2，1，B  E的特征值为4，1，0，所以，|B  E| = 0； 因此，|B  E|的最大值为12. (5) 答案 0.5 [解] A={所得三个点都不一样}, B={三个点中有一点}, 则所求概率为

.214564513)(ABP

或 .216/4566/4513)()()(33APABPABP (6) 答案 23 [解] 因为)1,0(~221NXX, )3(~)(132524232XXX —2—

且 221XX与)(12524232XXX独立,于是 .23)3(~)(233/)(1225242321252423221atXXX

XX

XXX

XX



二、选择题 (1) 答案(C).

[解] 令u = x  t，F(x) =xxxduuufduufxduufux000)(2)()()2(，

所以，xduuf0)(为奇函数，xduuuf0)(为偶函数，即F(x)为偶函数. 又0)]()([)()()(00xxduxfufxxfduufxF，即F(x)单调减少. 因此，选(C). (2) 答案 (B).

[解] 由已知得0)()(lim30xxfxfx，

又xxfxfxxfxfxxfxfxxx6)()(lim3)()(lim)()(lim02030 =0)0(316)()(lim0fxfxfx，所以有0)0(2)]()([lim0fxfxfx， 因此，得到0)0(f，而不能确定)0(f是否为零，故选(B). (3) 答案 (B). [解] 由已知，)(1xV=xdxxf02)(，)(2xV=xdxxxf0)(2，

所以，21)(2)(lim2210xxfxfVVx，故选(B). (4) 答案 (D). [解] 因为向量组III线性相关，所以，矩阵AB不可逆，即A与B至少有一个不可逆， 即向量组I与II至少有一个线性相关，所以，选(D). (5) 答案 (D)

[解] 对于n阶矩阵A,有Ax=0只有零解nAr)(Ax=b有唯一解A可逆A

的行向量组线性无关0AA无零特征值，故5个命题是等价的, 应选(D). —3—

(6) 答案 (A) [解] 因为)1,0(~24),4,0(~44141NXNXiiii，

所以 .1,41)1(~]24[2241nkXii 三、[解] 曲线y = f (x)在点(1 , 0)处的切线方程为y = )1)(1(xf，令x = 0，

得切线在y轴上的截距为)1(f= 1，所以，)1(f= 1.

故 eeeenffnfnfnnfnnnn)1(1)1()11(lim)11(lim)]11(1[lim. 四、[解] 02)(dxxfx=03030303231)(31)(31)(31dxexxfxdxxfxxfxx

=)(lim3161)1(61)(313020322xfxeexxfxxxx =4333)(lim3161)(lim3161)(lim3161xxfxxfxfxxxx

=613lim316142xexx. 五、[证] 1） 由xxfx)(lim0=AAxxfxfxfffxx)(lim0)0()(lim)0(0)0(00,即f(x)在x=0处可导. 2）由于0)(limxfx，故,0,0M当x>M时，恒有.2)(xf又根据微分

中值定理，),(xM，使 ).()()(fMxMfxf 故当x>M时，

)(2)()(2)()()(MxMfxffMxMfxf





所以 xxMfxxf()()(0充分大），从而.0)(limxxfx —4—

六、[解] 因0000.)()())(()(xxxxtxuduufduufduufdtxtf 于是原方程可化为 xxduufxfxf023)(3)(2)(

由题设，)(xf为奇函数，有0)0(f，并以x=0代入原方程得f(0)=1. 方程两边关于x求导得 3)(3)(2)(xfxfxf

其通解为 .1)(321xxeCeCxf 由f(0)=1, 0)0(f,有021CC，故f(x)=1. 七、[解]

由,)!2()1(cos02nnnxnx012)!12()1(sinnnnxnx，知

).,(,)!12)(12()1(])!12(1)!2(1[)1()(112012xnnxxnnxfnnnnnn

故x=2时，112122)!12)(12()1(1)2(nnnnnnf，即有 .12)!12)(12()1(112121nnnnnn



八、[证] 1） 设x>a，xadttfaxfaxx)()2()()(，

)(21)2()()2()(xfaxfaxaxfx =0)]()2([2)2(22)(faxfaxaxfaxxaf， 其中).,2(xax 于是)(x单调递减(x>a)，即)(0)()(axax，也即

.)()2(abdxxfxafxa令x=b即有.)()2(abdxxfbafba

2） 同理，设 xaaxdttfaxxfafx)(,)()(2)()()( ))((21))()((21)()(2)(2)()()(axxfxfafxfaxxfxfafx —5—

=0))()()((21))((21))((21fxfaxaxxfxaf 其中).,(xa 于是)(x单调递增(x>a)，即)(0)()(axax，也即

.2)()()(xfafabdxxfxa令x=b即有.2)()()(bfafabdxxfba



九、[解] 由已知，得矩阵),,(),,(3213213221a11011101a

的秩小于3，又321,,线性无关，所以，矩阵11011101a不可逆，得a = 2. 方程组43213221),,(xa化为 (321,,)110211101x = (321,,)211，因为321,,线性无关，

所以，原方程组与方程组110211101x =211同解. 容易求得方程组110211101x =211的通解为021111C. 十、[解] 由于A是n阶实对称矩阵，所以，A的特征值为实数，且A可对角化.

又AA2，所以，A的特征值满足方程02，即A的特征值为0或1， 又A的正惯性为r，负惯性指数0,所以，A的特征值为1(r重)和0(n  r重).

又由AA2，得AAn，nAAAE2= E + n A，

所以，nAAAE2的特征值为1 + n(r重)和1(n  r重)， 因此，行列式 nAAAE2rn)1(. 十一、[解] 1）令 kA={第k次试验成功}，,2,1,)(kpAPkk，则