第4讲图形的相似知识点1：相似多边形及性质相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.【典例】1.图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．【解析】解：不相似．理由：∵∠D=360°﹣135°﹣95°﹣72°=58°，∠E=360°﹣135°﹣95°﹣59°=71°，∴两个四边形中不可能有“对应角相等”，又∵没法判定对应边成比例，∴不相似．2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．【解析】解：（1）设较大多边形的周长是x cm．则∵两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和12cm，∴两个相似多边形的相似比是15：12=5：4，又∵相似多边形的周长的比等于相似比，∴x：（x﹣24）=5：4，解得：x=120，较小多边形的周长120﹣24=96（cm）；答：两个多边形的周长分别为120cm，96cm；（2）设较大多边形的面积为acm2，由题意得：a：（a﹣270）=25：16，解得：a=750，则较小多边形的面积为750﹣270=480（cm2）．答：两个多边形的面积分别为750cm2，480cm2．【方法总结】相似图形：所谓形状相同，就是与图形的大小，位置无关，与摆放角度，摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异，但也不能认为是形状相同相似多边形：（1）在相似多边形中，对应变成比例，对应角相等，这两个条件必须同时成立，才能说明这两个多边形是相似多边形；（2）相似多边形的性质可以用来确定两个相似多边形中未知的边的长度或未知的角的度数；（3）相似比得值与两个多边性的前后顺序有关；（4）相似比1:1的两个相似多边形是全等多边形；【随堂练习】1．（2018•慈溪市模拟）若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为____．【解答】解：设矩形的长是a，宽是b，则DE=CF=a﹣b，∵矩形ABCD∽矩形CDEF，∴=，即=，整理得：a2﹣ab﹣b2=0，两边同除以b2，得（）2﹣﹣1=0，解得，=或=（舍去）∴长与宽的比，故答案为：．2．（2017秋•泰兴市校级月考）如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD 的内部，AB ∥A'B'，AD ∥A'D'，且AD=12，AB=6，设AB 与A'B'、BC 与B'C'、CD 与C'D'、DA 与D'A'之间的距离分别为a ，b ，c ，d ，（1）a=b=c=d=2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD 吗，为什么？（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD ，a ，b ，c ，d 应满足什么等量关系？请说明理由．【解答】解：（1）不相似，理由如下： ∵≠，∴不相似；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ， 就要，即，可得：2d+2b=a+c ．知识点2平行线分线段成比例1比例性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅（其中b 叫做比例中项） 2 更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：a cb d b d ac =⇔=．4合、分比性质：a c a b c db db d ±±=⇔=． 5等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ 6如果四条线段a,b,c,d 满足a cb d=,则四条线段a,b,c,d 称为比例线段。

（有先后顺序，不可颠倒） 7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

【典例】1.已知a ，b ，c ，d 是四条线段，试判断的它们是不是成比例线段． （1）a=1mm ，b=0.8cm ，c=0.02cm ，d=4cm ； （2）a=1cm ，b=0.4cm ，c=40cm ，d=3cm ．【解析】解：（1）∵0.02×4=0.08，1mm=0.1cm ，0.1×0.8=0.08，0.08=0.08， ∴它们是成比例线段；（2）∵0.4×40=16，1×3=4，16≠4，∴它们不是成比例线段．2.如图，△ABC∽△ADE，AD=8cm，BD=4cm，BC=15cm，EC=7cm．（1）DE∥BC吗？为什么？（2）求DE，AE的长．（3）你还能发现哪些线段成比例？【解析】解：（1）DE∥BC．理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC；（2）∵△ABC∽△ADE，∴==，即==，∴DE=10cm，AE=14cm；（3）成比例线段还有：=．3.如图，l1//l2//l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．【解析】解：∵l1//l2//l3，AB AD∴=BC DE∵AB=3，AD=2，DE=4，234BC∴=,解得BC =6， ∵l 1//l 2//l 3，BF AB EF AC∴=37.536BF ∴=+,解得BF =2.5． 【方法总结】1.由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．2.比例的合比性质做题时可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c dc b a b a ccd a a b d c b a3.等比性质①此性质的证明运用了“设K 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e dc b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 4.平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.【随堂练习】1．（2017秋•淅川县月考）如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ． （1）求证：AF ：FD=AD ：DB ；（2）若AB=15，AD ：BD=2：1，求DF 的长．【解答】（1）证明：∵EF∥CD，∴，∵DE∥BC，∴∴．（2）∵AD：BD=2：1，∴BD=AD，∴AD+AD=15，∴AD=10，∵AF：FD=AD：DB，∴AF：FD=2：1，∴AF=2DF，∵AF+DF=10，∴2DF+DF=10，∴DF=．2．（2017秋•汝州市校级月考）如图已知：△ABC中，F分AC为1：2两部分，D 为BF中点，AD的延长线交BC于E，求：BE：EC．【解答】解：过F作FO∥BC交AE于O，则∠FOD=∠BED，∵D为BF中点，∴FD=BD，在△FDO和△BDE中∴△FDO≌△BDE，∴FO=BE，∵FO∥BC，∴△AOF∽△AEC，∵AF：FC=1：2，∴，∴，知识点3 相似三角形三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.【典例】1.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．（1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）；（2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．【解析】解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF．（2）选△EAF∽△EBC，理由如下：在ABCD中AD∥BC，∴∠EAF=∠B．又∵∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC．2.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一个动点（不运动到点C或D），BE的延长线交AD的延长线于点F，问图中共有几对相似三角形？试证明其中的一对三角形相似．【解析】答：图中共有3对相似三角形，分别是：△DEF∽△CEB；△DEF∽△ABF；△CEB∽△ABF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴DF∥BC，∴△DFE∽△CBE．【方法总结】相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

【随堂练习】1．（2018•吉林模拟）如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC 于点E，则图中相似三角形共有（）对．A．2对B．3对C．4对D．5对【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴△ABF∽△DEF∽△CEB，∴相似三角形共有三对．故选：B．知识点4 位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

性质：位似形的有关性质：(1)两个位似形一定是相似形；(2)各对对应顶点所在的直线都经过同一点；(3)各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比；此时，把这个点叫做位似中心.这时的相似比叫做位似比。