(1) 1n
D11 U12 U13 L D U 21 22 23 L31 L32 D33 L41 L42 L43 M M Ln1 Ln 2 Ln 3
U14 L U 24 L U 34 L D44 L L Ln 4 L
U 1n U 2n U 3n U 4n M Dnn
( i 1) a i ,n1 x j ) (i n,L , 2,1)
n
b) 按行消去、逐行规格化 按行消去：自上至下，逐行消去系数矩阵对角线左侧的元素。 规格化：消去一行后，立即用其对角线元素除以该行所有元素。 经过i-1步按行消去运算后：
1 a 1 Bi 1 a i1 M a n1
经过1--n步按行消去运算后：
1 a 1 Bn
(1) 12
a a 1
(1) 13 (2) 23
L L L O
L L L L 1
a a
M M (n) an ,n 1
(1) 1, n 1 (2) 2, n 2
是计算机上经常采用的计算过程。 与按列消去、按行回代过程的性质相同，但顺序不同。
因子表可以理解为高斯消去法解线性方程组过程中对常数
项F全部运算的一种记录表格。
为了对常数项进行消去运算，必须记录消去过程中所需要 的因子，即消去运算和规格化运算所需要的因子。 为了常数项的回代过程运算，必须记录消去运算后得到的 上三角矩阵元素。消去过程：
fi
fi
(k )
(i )
fi

( k 1)
矩阵A称为A 的伴随矩阵，Akj是元素akj的代数余子式。
根据逆矩阵的定义来直接求矩阵的逆非常复杂,甚至不可 能.电力系统计算中一般采用解线性方程组求逆法或采用 消去求逆法
1.解线性方程组求逆法
设
x11 x12 x x22 21 1 A M M xn1 xn 2
x1n L x2 n M M L xnn L
5）安全性问题日益受到重视，如何兼顾电力系统的安全 性与经济性成为研究的重点课题之一。
6）电压稳定性问题日益突出。
第一章 矩阵与方程组
一、逆矩阵的计算
在电力系统计算中,逆矩阵是一个非常重要的概念,定义:
A
1
1 A A
A11 A A 12 M A1n
An1 A22 L An 2 M M M A2 n L Ann A21 L
X (t 1) ( BX (t ) F ) (1 ) X (t ) 雅可比迭代的松弛法
X (t 1) ( LX (t 1) UX (t ) F ) (1 ) X (t ) 塞德尔迭代的松弛法
如果对于X的各分量取不同的松弛因子，则称为逐点松弛因子！
rik aik lip rpk , i 1, 2, L , k
p 1
i 1
若A非奇异，则矩阵A可进一步分解成：
A LDU
若A对称，则：
d ii rii u ij rij rii
A LDLT U T DU
一般保存下三角矩阵。
AX F
LDL X F
T
LZ F DY Z LT X Y
3.三角分解法 在实际计算中，常常需要多次求解方程组AX=F，且每次仅改 变常数项F，系数矩阵A不变，此时也可采用三角分解法。 首先把A分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，且通常把 下三角矩阵选为单位三角矩阵。
A LR
j 1 1 lkj (akj lkp rpj ), j 1, 2, L , k 1 rjj p 1
暂态过程分析、自励磁、过电压计算、周期性冲击对 电力系统的影响、有功和无功合理分布计算等
二、主要研究内容
线性方程组
1）数学模型
非线性方程组 微分方程组
运行状态参数之间相互关系和变化规律的一种数学描述。 物理现象 → 数学问题 方法可靠：能给出正确的解
2）计算方法
内存占用小：影响解题规模 计算速度：实时是最终目的
1 (1) a22 a a
(1) 32
(2) a23
(2) a24
1 (2) a33 a
(2) 43
(3) a34
(1) 42
1 (3) a44
(3) an 4
M
(1) an 2 (2) an 3
L
a (2) a2 n (3) a3n (4) a4 n M 1 ( n 1) ann
B L U
Hale Waihona Puke X (t 1) LX (t 1) UX (t ) F
为了进一步改善收敛性,可引进松弛因子:
X (t 1) X (t ) X (t )
( t 1)
松弛因子
X (t ) X
( t 1)
X (t )
X
LX (t 1) UX (t ) F
c) 改进方法
高斯消去法要求系数矩阵的所有主子式全不为零，这是一个非常 苛刻的条件，因为即使矩阵A非奇异，也不能确保它的各阶主 子式全不为零。 改进法一般采用主元消去法，即在消元前，先寻找该行中最大的 元素，并选其做为对角元素（通过列与列互换来实现），然 后再进行消元运算。
2.因子表法 在实际计算中，常常需要多次求解方程组AX=F，且每次仅 改变常数项F，系数矩阵A不变，此时可采用因子表法。
电力系统计算
电力科学与新技术研究所 胡林献
绪论
一、传统应用领域
牛顿法
1）潮流计算
P-Q分解法
阻抗迭代法 稳态运行下的一种计算。根据给定运行条件及系统接线情 况确定整个电力系统各部分的运行状态。
2）短路计算 3）稳定计算 4）其它计算
导纳矩阵三角分解法 阻抗矩阵为基础的计算法 完善系统元件的动态特性模型 改进计算方法
3）程序技巧
代数方程的求解是基础，其解题速度 决定了程序的计算速度和解题能力。 速度快、方便和灵活
三、分析理论和技术的发展方向
1）软硬件的迅速发展使解题规模不断扩大。最优潮流、 静态安全分析等已经能够在线运行； 2）HVDC和FACTS的应用在提高输电能力、控制运行状态、 改善运行特性的同时也带来了许多新的研究问题。需要 建立新的数学模型，开发包含HVDC和FACTS的分析方法； 3）通讯技术的高速发展使电力系统的在线监控成为可能； 需要研发在线分析软件； 4）电力市场化彻底改变了传统电力系统的管理和经营模 式，出现了输电辅助服务、输电阻塞等许多新问题；
按行回代:
L L L O
a1n a a a
(1) 2n (2) 3n
M
( n 1) nn
a1,n 1 (1) a2,n 1 (2) a3, n 1 M ( n 1) an,n1
xi
1
( i 1) aii
(a
( i 1) i , n 1

j i 1
回代运算：
当A是对称矩阵时，上、下三角部分元素之间有如下关系：
1 L ji U ij Dii
因此，计算中只需要存储因子表的对角元素及其上三角元素.
f
(i ) j
f
(i 1) j
Lji f
(i ) j
f
(i ) j
f
(i 1) j
Uij fi
(i 1)
在对称矩阵下，消去运算如下：
( j i)
(i j )
( i 1) aii
( j 1) 下三角矩阵L:消去过程中曾出现的元素 Lij aij
(i ) 上三角矩阵U:消去后经过规格化的元素 Uij aij
对角矩阵D:对角元素的倒数
Dii 1
如对四阶线性方程组，因子表和常数项F如下：
利用因子表的求解过程如下： 前代运算：
x1 j x2 j Xj M xnj
0 M F j 1 ← M 0
j
2.消去求逆法
设A非奇异,则 AX=F 的解可以表示成 X=A-1F。如果把 方程 AX=F 变换成 X= -CF 的形式，则 -C=A-1。
2. 逐次迭代法←非线性方程组的迭代解法
F ( x) 0
x G ( x)
x (t 1) G( x (t ) )
可采用雅可比、塞德尔迭代，也可加松弛因子。
逐次迭代法的收敛条件:
迭代法的特点： a) 无实数解则一定不收敛； b）有实数解时收敛性取决于解附近的性质和初值的选择； c) 多解时迭代收敛于哪个解取决于初值的选取。
a
( k 1) ( k ) ik k
f
(k 1, 2,L , i 1)
f i ( i 1)
( i 1) aii
1 a 11 a21 a31 a41 M a n1
a
(1) 12
a
(1) 13
a
(1) 14
L L L L L
X
三角分解法与因子表之间的关系： a) 三角分解法的U矩阵就是因子表中的上三角部分； b) 三角分解法的D矩阵元素与因子表的对角元素互为倒数； c) 三角分解法的L矩阵元素是因子表下三角元素与对角元素 的乘积。
三、方程组的迭代解法
目前,在电力系统计算中,迭代法主要用于求解非线性 方程.迭代是一种解方程或方程组的间接方法,可解 直接法不能解决的问题. 1. 线性方程组的迭代解法 B 1 A AX F
二、线性方程组的直接解法
1.高斯消去法
a) 按列消去、按行回代
对AX F，由A和F 组成增广矩阵: a11 a12 a a 21 22 B= A F M M an1 an 2