福建省厦门双十中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.1.（2020双十高一11月期中考）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A.()U MC PB.M PC.()U C M PD.()()U U C M C P『答案』A『解析』由题易知阴影部分所表示的集合是()U MC P ，故选A.2.（2020双十高一11月期中考）函数()2f x x =-的定义域为（ ） A.[1,2)(2,)+∞ B (1,)+∞ C.[1,2)D.[1,)+∞『答案』A『解析』由题知10x -≥，解得1x ≥：20x -≠，解得2x ≠；两者取交集得[1,2)(2,)+∞，故选A.3.（2020双十高一11月期中考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（ ）A.(,)b c 和(,)c +∞内B.(,)a -∞和(,)a b 内C.(,)a b 和(,)b c 内D.(,)a -∞和(,)c +∞内『答案』C『解析』∵a b c <<，∴()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->，由函数零点存在判定定理可知：在区间(,)a b 和(,)b c 内分别存在一个零点；又函数()f x 是二次函数，最多有两个零点，因此函数()f x 的两个两个零点分别位于区间(,)a b 和(,)b c 内，故选C. 4.（2020双十高一11月期中考）设0.32a =，20.3b =，2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<『答案』B『解析』因为200.31<<，2log 0.30<，0.321>，所以20.32log 0.30.32<<，即c b a <<，故选B.5.（2020双十高一11月期中考）已知函数()f x 满足(1)lg f x x -=，则不等式()0f x <的解集为（ ） A.(,1)-∞B.(1,2)C.(,0)-∞D.(1,0)-『答案』D『解析』令1x t -=，∴1x t =+，10t +>，所以()lg(1)f t t =+，函数()f x 的解析式为：()lg(1)f x x =+，不等式()0f x <化为lg(1)0x +<，解得10x -<<，故选D. 6.（2020双十高一11月期中考）已知函数2()log f x x =的反函数为()g x ，则()1g x -的图像为（ ）A. B.C.D.『答案』C『解析』函数2()log f x x =的反函数为()2xg x =，11(1)222xxg x -⎛⎫-==⋅ ⎪⎝⎭，当0x =时，()11g =，再利用单调性可知图像为C ，故选C7.（2020双十高一11月期中考）某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为（ ） A.2mk B.4mk C.2mD.4m『答案』B『解析』由题知，224m x k m kmy kx m m -⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭，(0,0)k x m ><<，当且仅当x m x =-，即2mx =时，等号成立，故选B . 8.（2020双十高一11月期中考）已知函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(1,1]-内，函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(1,3)B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(1,3]D.[3,)+∞『答案』D『解析』1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，(1,0)x ∴∈-时，1(0,1)x +∈，则11()1(1)1f x f x x +==++，1()11f x x ∴=-+，若函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点，则()log (2)m f x x =+有两个根，即()y f x =与log (2)m y x =+的图像有两个交点.函数图像如图所示，当01m <<时，函数log (2)m y x =+单调递减，此时不满足条件；当1m >时，函数log (2)m y x =+单调递增，若两函数有两个交点，则满足当1x =时，()11g ≤，即log 31m ≤，解得3m ≥，故选D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.9.（2020双十高一11月期中考）已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则下列结论正确的有（ ）A.(,0]A =-∞B.{}2 4C B x x x =<>R 或 C.{}02AC B x x =≤<R D.{}0 2 4AC B x x x =≤<>R 或『答案』BD『解析』因为011122x ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0x ≥，所以{}0A x x =≥，又因为2680x x -+≤解得24x ≤≤，所以{}24B x x =≤≤∣{}24C B x x x ∴=<>R 或，所以{}024A C B x x x =≤<>R 或，故选BD.10.（2020双十高一11月期中考）若函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，则()f x 一定（ ） A.是偶函数B.是奇函数C.在(,0)x ∈-∞上单调递减D.在(,0)x ∈-∞上单调递增『答案』BD『解析』由题知231041m m -+=，解得3m =或13m =，所以3()f x x =或13()f x x =，由幂函数性质知()f x 是奇函数且单调递增，故选BD.11.（2020双十高一11月期中考）已知34log log a b =，则下列结论正确的有（ ） A.1a b << B.1b a << C.01b a <<<D.01a b <<<『答案』AC『解析』由题知，当a ，1b >时343log log log a b b =<；∴a b <；当a ，1b <时343log log log a b b =>，∴a b >，故选AC.12.（2020双十高一11月期中考）关于函数21||()(0,1)x x f x a a a +=>≠，下列命题中正确的是（ ）A.函数图像关于y 轴对称B.当1a >时，函数在(0,)+∞上为增函数C.当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2a D.函数的值域是)2,a ⎡+∞⎣『答案』AC『解析』由题知，()f x 的定义域为{}0|x x ≠，且22()11||||()()x x x x f x aaf x -++--===，所以()f x 为偶函数，所以函数图像关于y 轴对称，故A 正确.令21,011()||1||||,0x x x xg x x x x x x x ⎧+>⎪+⎪==+=⎨⎪--<⎪⎩，当1x >时，()g x 为增函数，当01x <<时，()g x 为减函数；当1a >，函数x y a =为增函数，由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，故B 错误.由1||2||x x +≥，当且仅当||1x =时取等号，当01a <<时，函数xy a =为减函数，()f x 在(0,1)，(1,)+∞上为增函数，在(1,)+∞，(1,0)-上为减函数，故有最大值2a ，故C 正确.当01a <<时，值域为(20,a ⎤⎦；当1a >时，值域为)2,a ⎡+∞⎣，故D 错误. 故选AC.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.13.（2020双十高一11月期中考）已知21,0(),0x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若()4f x =，则x =______. 『答案』2x =-或5x =『解析』当0x ≥时，()4f x =，即14x -=，得5x =；当0x <时，()4f x =，即24x =，得2x =-；故2x =-或5x =.14.（2020双十高一11月期中考）化简41log 32+的值=______.『答案』『解析』2442log 3log 231log 3log 3log 412=2=222222+====15.（2020双十高一11月期中考）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为______.『答案』2400元『解析』由题知93181********⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭.16.（2020双十高一11月期中考）已知函数121()22x x f x --=+，某同学利用计算器，算得()f x 的部分x 与()f x 的值如下表：请你通过观察，研究后，写出关于()f x 的正确的一个性质______.（不包括定义域）『答案』关于(1,0)对称 『解析』由表格易知四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.17.（2020双十高一11月期中考）已知集合{}2210M x ax x =-++=只有一个元素，{A x y ==，{}221B y y x x ==-+-.（1）求AB ；（2）设N 是由a 可取的所有值组成的集合，试判断N 与AB 的关系.解:（1）由10x +≥，得1x ≥-，所以{}1A x x =≥-；由2221(1)y x x x =-+-=--，得0y ≤，所以{}0B y y =≤，所以[1,0]AB =-；（2）由题知，当0a =，方程210x +=只有一个实数解，符合题意；当0a ≠时，0∆=，解得1a =-，所以{1,0}N =-，所以()N AB ⊆.18.（2020双十高一11月期中考）我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.（1）据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国人口总数大约为多少亿（精确到亿）；（2）当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿.（参考数字：251.01 1.2824≈，lg 20.3010≈，lg70.8451≈，lg1.010.0043≈） 解:（1）由1995年底到2020年底，经过25年，由题知，到2020年底我国人口总数大约为2512(11%)12 1.282415⨯+≈⨯≈（亿）；（2）设需要经过x 年我国人口可达16亿，由题知14(11%)16x⨯+=，两边取对数得，lg14lg1.01lg16x +=，即有lg16lg143lg 2lg 730.30100.845114lg1.01lg1.010.0043x --⨯-==≈≈，则需要经过14年我国人口可达16亿.19.（2020双十高一11月期中考）已知函数1()422xx f x a +=--.（1）若()f x 的最小值为-3，求实数a 的值；（2）若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 解:（1）由题()21()4222222xx x x f x a a +=-⋅-=-⋅-，令2(0,]x t =∈+∞，所以222y t at =--，对称轴t a =，所以22223a a --=-，解得1a =±，又因为0t >，所以1a =；（2）由（1）知若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立，即2220y t at =--<对任意的[1,2)t ∈恒成立，即22122t t a t t ->=-对任意的[1,2)t ∈恒成立；易知12t y t=-是增函数，所以max 1(2)2y y <=， 所以12a ≥即1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 20.（2020双十高一11月期中考）函数2()f x x =和3()log (1)g x x =+的部分图像如图所示，设两函数的图像交于点(0,0)O ，()00,A x y .（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数； （2）求证：01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭： （3）请通过直观感知，求出使()()f x g x a >+对任何18x <<恒成立时，实数a 的取值范围.解:（1）1C 是3()log (1)g x x =+的图像，2C 是2()f x x =的图像； （2）证明：令23()()()log (1)F x f x g x x x =-=-+，因为331113log 1log 22424F ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为314433log 3log 27=，1433log 2log 16=，所以102F ⎛⎫<⎪⎝⎭；3(1)1log 20F =->；故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00F x =，即0x 是3()log (1)g x x =+与2()f x x =图像的交点； （3）由（2）知3(1)1log 20F =->，且由图知31log 2a <-，即()3,1log 2a ∈-∞-. 21.（2020双十高一11月期中考）定义在(0,)+∞的函数()f x 满足：①当1x >时，()2f x <-；②对任意x ，(0,)y ∈+∞，总有()()()2f xy f x f y =++. （1）求出()1f 的值；（2）解不等式()()14f x f x +->-；（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）. 解:（1）令1x y ==，则()()()2111f f f =++，所以()12f =-； （2）令1y x=，1x >，则有()()()21f f x f y =++，所以()()4f y f x =--；又因为1x >时，()2f x <-，所以()2f y >-；而()()14f x f x +->-可化为()()124f x x -->-，即()()12f x x ->-故0100(1)1x x x x >⎧⎪->⎨⎪<-<⎩，解得112x +<<，即x ⎛∈ ⎝⎭ （3）由题知12()log 2f x x =-.22.（2020双十高一11月期中考）已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明你的判断； （3）是否存在实数λ，使得当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--.若存在，求出λ的取值范围；若不存在说明理由.解:（1）因为函数222(1)()(1)()x x a x a x af x x x +++++==为偶函数，所以2222(1)(1)()x a x a x a x af x x x -+++++-==，即(1)1a a -+=+，所以1a =-； （2）当1a =-时，22211()1x f x x x -==-，则函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数.证明：设120x x <<，则()()()()1212122222211211x x x x f x f x x x x x -+-=-=，因为120x x << 所以120x x +>，120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在(0,)+∞上为增函数；同理可证()f x 在(,0)-∞上为减函数；（3）因为函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以若存在实数λ，使得当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--，则满足22112112f m m m f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩，即m ，n 是方程210x x λ-+=的两个不等的正根.则满足240010m n mn λλ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得2λ>，故存在2λ>，使得结论成立.。