“工大出版社杯”第十五届西北工业大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目B 题剪切线学院第队摘要本文对全国50个城市主要食品平均价格变动情况的问题进行了建模、求解与相关分析。
针对问题一,将50个城市作为我国的代表,同时将主要食品进行分类,分析各类食品的波动特点以体现我国食品价格波动的特点。
第一步分析附录中的数据,并对数据进行处理,运用两种分类方法将食品合理分类:依据传统食品分类法分为八大类与将价格方差处于同一范围内的食品分为价格平稳型,价格温与波动型,价格迅速波动型与价格剧烈波动型四类。
第二步根据食品分类结果,通过制作价格波动图及查找资料分析各类食品价格的波动特征,从而体现我国食品价格波动的特点。
针对问题二,我们利用各个食品价格变动折线图,在四大类食品中选出具有代表性的食品进行进一步的研究。
首先我们根据问题一的折线图大致推测与实际数据大致吻合的函数类型,应用SPSS软件与MATLAB软件,对相应数据进行线性,二次,三次,对数等多种模型的拟合。
然后利用负相关系数2R值、方程显著性检验F 对函数曲线与实际数据的吻合度进行检验。
如果模型的拟合效果较好,就运用拟合函数进行2014年5月份的走势预测,并利用前期数据计算预测值与实际值的相对误差,都处于合理范围内,说明预测有效。
针对问题三,我们通过所给数据及查找的数据,利用主成分分析法,分析得出27种食品种类中的主成分依次为第19、21、23、25、1、2、3、26、27种食品。
故得到可以通过检测较少食品种类,就能相对精确地预测CPI数值。
经过对地域特点的考察,选取陕西与上海两地,通过查找相关CPI与食品价格数据,运用主成分分析法,得出对CPI影响大的几类食品,然后通过matlab算法实现,再由所得数据与图表的分析比较得到,不同地区应选取不同的食品种类进行检测。
关键词:分类,曲线拟合,线性回归,主成分分析法,SPSS一基本假设针对本问题,可做以下合理假设:(1)数据真实可靠。
(2)由于不可预料的大型地质灾害,如地震、洪涝灾害、旱灾等,可能引起全国食品零售价格的波动,所以本论文所有模型所用的数据都基于不发生大型地质灾害的假设之上。
本论文中对2014年5 月的食品价格走势做出的预测,也就是基于这个月份没有大型地质灾害的假设之上。
(3)不考虑国际粮价对国内的影响。
二名词解释与符号说明设2013年11月1-10日为1;2013年11月11-20日为 2;2013年11月21-30日为3,依次类推下去。
名词符号含义单位i根据所给表格中的食品种类排序x第i种食品在第j时间点元ij的价格2第i种食品的价格方差iE 累计贡献率三问题一3、1 问题分析问题一的要求为根据附录及相关统计网站的数据来分析我国食品价格波动的特点。
我国食品价格波动特点需要典型的食品价格数据来进行分析得到。
故可将50个城市作为我国的代表,同时将主要食品进行分类,分析各类食品的波动特点以解决问题一,则分为两个步骤:第一步就是要分析附录中的数据,并对数据进行处理,将食品合理分类;第二步就是根据食品分类结果以及查找资料确定各类食品价格的波动特征,从而体现我国食品价格波动的特点,并为下一步预测做准备。
3、1、1 数据的分析附录提供了从2014年1月1日到2014年4月10日的50个城市主要食品平均价格变动情况的数据。
从中国国家统计局官网( )上,我们又收集到了从2013年11月1日到2013年12月30日的数据,但这之前的数据官网上并没有给出。
所以本问题中在做数据处理时,都就是指把从2013年11月1日到2014年4月10日的数据进行处理。
由于每种食品的价格不就是在一个价格区间,比如有的食品价格在2~3 元之间波动,而有的食品价格在60~70 元之间波动,在观察它们的价格走势时会由于数量级的不同而导致趋势的不同。
为了消除量纲与量级对趋势的影响,需要对数据进行归一化。
3、1、2 分类标准的分析首先,我们考虑传统食品分类法,即以食品本身的属性进行分类。
同一类的食品,应该会呈现相似的价格波动趋势。
其次,由于本题主要考虑价格的波动特点,我们采取价格方差这一指标进行分类,而这种整体偏离的属性可以通过价格方差来衡量,因此我们有考虑采用价格方差这一指标进行分类。
这两种分类方法从不同的角度出发,避免分析每一种食品的价格波动特点,同时又能体现总体的特点,解决问题一题目中分析我国食品价格波动趋势的问题。
3、2 两种分类方法3、2、1第一种分类方法,依据传统食品分类方法,可将食品分为8类:第一类:大米类(粳米);第二类:面粉类(富强粉、标准粉);第三类:豆制品(豆腐);第四类:食用油(花生油、大豆油、菜籽油);第五类:肉蛋类(猪肉、牛肉、羊肉、鸡、鸭、鸡蛋);第六类:鱼类(活鲤鱼、活草鱼、带鱼);第七类:蔬菜类(大白菜、油菜、芹菜、黄瓜、西红柿、豆角、土豆);第八类:水果类(苹果、香蕉)。
3、2、2第二种分类方法,以价格方差作为主要指标进行分类。
价格方差的定义:食品的价格方差就是该食品在观测到的各时间点的一系列价格数据的方差,表达式如下:1622i 11=(),1,2,3......1616ik i k a a i σ=-=∑其中,2i σ表示第i 种食品的价格方差。
将价格方差在(0,0、01)内取值的定义为价格平稳型食品,在(0、01,0、2)取值的为价格温与波动型食品,在(0、2,2)内取值的为价格迅速波动型食品,在(2,8)取值的为价格剧烈波动型食品。
3、3 各类食品价格波动特点运用第一种分类方法,将各类食品价格走势图表示出来,据图分析。
表3-1:大米面粉类食品价格走势图大米这类食品属于生活必需品,价格波动较小,稳定性较好。
总体而言,大米的价格走势将在近期基本保持不变。
由图表可以瞧出富强面粉与标准面粉的价格走势基本稳定,其中富强面粉的平均价格为5、46元/千克,标准面粉的平均价格为4、49元/千克;同时富强面粉,标准面粉的价格方差最低,说明其价格波动最小。
,其价格水平将基本在较小的范围内波动。
表3-2:豆制品食品价格走势图而豆腐及豆制品行业产销格局对行业整体发展趋势具有决定性影响,由此表可以瞧出豆制品(豆腐)的价格一直保持上升水平,其价格方差为0、002546,较低,说明豆腐价格小幅波动上涨,平均价格为4、424元/千克。
表3-3:食用油类食品价格走势图花生油与大豆油走势偏弱,2014年4月较2013年11月,花生油下降了2、8%,大豆油下降了2、03%,而菜籽油小幅度波动上升,提高了2、1%。
同时花生油与菜籽油的价格方差分别为0、079467与0、052865,较高,说明二者的价格在一定范围内会持续波动,而大豆油的价格方差为0、0028562,较低,表明价格在一定时期内会保持稳定。
表3-4:肉蛋类食品价格走势图从折线图中可以清晰瞧出肉蛋类中8种食品价格的波动情况,其中鸡蛋、鸭肉与两种鸡肉的价波动幅度非常小,价格处于稳定状态。
分析原因就是市场供应较为充足。
两种猪肉的整体波动幅度比较大。
2014年以前猪肉价格的波动较小,原因就是由于市场供应有保障。
牛肉与羊肉的整体价格处于上涨趋势,但变化幅度不大牛肉涨幅大于羊肉涨幅。
表3-5:鱼类食品价格走势图2013年11月-2014年1月,活鲤鱼的价格基本保持在13、82元/千克,2014年2月-3月初,其价格有较大的波动,平均价格为14、594元/千克,较之前增长了5、6%,但在2014年3月中期至4月初,平均价格有所下降。
综上,鱼类经历了由小幅度波动上升到小幅度波动下降的过程。
冬季产鱼数量较少,价格随之小幅度上升;而春季与夏季天气较暖,产鱼数量较多,价格略有下降。
表3-6:蔬菜类食品价格走势图蔬菜类中波动幅度存在明显差异,其中,大白菜、油菜、芹菜、土豆的价格相对稳定,即使波动,也只就是很小范围内的波动,可视为基本稳定,而西红柿、黄瓜走势大致相同,且波动幅度较前几种更加明显,而豆角的价格变化幅度更加明显,与其她蔬菜类都没有相似性,出现这种情况的可能原因就是豆角种植条件特殊,除了季节变化,还可能有多种因素影响其价格走势。
表3-7:水果类食品价格走势图水果类中,两种水果呈现相似的价格走势,即年后出现小幅上涨趋势,其余趋于平缓,基本无变化,分析原因就是冬季需求量变大,因而出现小幅上涨的趋势,总体趋于平缓则说明了水果种植与季节变化并无明显关系。
运用第二种分类方法,可得以下几类食品,如以下表格所示:表3-8:价格平稳型食品价格平稳型食品主要就是大米,面粉,大豆油等基本需求食品以及豆腐,鸡肉,价格波动特点就是:变化较平稳,主要在平均值上下浮动。
表3-9:价格温与波动型食品价格温与波动类食品主要就是食用油类,鱼类,蔬菜类以及鸭与鸡蛋,价格波动特点就是:价格在一定范围内波动,但整体变化不大,仅有小幅度波动。
表3-10:价格迅速波动类食品价格迅速波动类食品主要就是牛羊肉,水果类,黄瓜,西红柿与带鱼,价格波动特点就是:不同时期呈现较大幅度的波动,价格波动与其影响因素关联很大。
表3-11:价格剧烈波动型食品价格剧烈波动型食品主要就是猪肉及豆角,价格波动特点就是:价格在不同时期呈现巨大幅度的波动,受时间影响很大。
四 问题二4、1问题分析名称大米面粉(富强1)面粉(标准2)大豆油豆腐鸡(白条鸡)鸡2(鸡胸肉)方差 0、006947 0、005613 0、00016 0、002856 0、002546 0、00899 0、007696名称 花生油 菜油 鲤鱼 鸭鸡蛋 白菜 油菜 芹菜 土豆 方差 0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、052名称 带鱼 牛肉 羊肉 黄瓜 西红柿 香蕉 苹果 方差 0、0、1、0、84265 0、536769 0、0、食品名称 猪肉1 猪肉2 豆角 方差2、489966252、2614866677、463037根据宏观经济学原理分析,要预测食品价格变化情况就需要根据以往的食品价格走势情况,然后建立有关食品价格的关系模型,试图找出变化的内在联系,然后再进行预测。
所以本题要求对2014年5月份食品价格走势进行预测,我们就要在问题一已有食品价格数据与数据走势图的基础上,进一步建立最优的模型,才使本题求解的关键。
4、2 模型建立原理4、2、1曲线拟合(Curve Fitting)就是在数据分析上常用的方法,就就是利用参数化的曲线构造函数()y f x =来逼近一组给定的数据点所构成的函数()f x ,可就是参数化的曲线()g x 不可能严格的通过采样点,但能够希望()g x 尽可能地靠近这些点,就就是使其:()()i i g x f x - (i =1,2,3,…,n)在某种意义上达到最小。
4、2、2超定系统线性方程线性方程的超定系统就是指方程的个数多于自变量的个数系统。