高中数学第十三章-极限
考试内容：
教学归纳法.数学归纳法应用.
数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
考试要求：
(1) 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2) 了解数列极限和函数极限的概念.
(3) 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.
(4) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
§ 13.极限知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个m时结论正确；②假设当n k ( k N ,k 时，结论
n0)正确，证明当n k 1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①当n n0 ( n0N )时，P(n)成立；
②假设当n k (k N ,k no)时，P(n)成立，推得n k 1时，P(n)也成立.
那么，根据①②对一切自然数n n0时，P(n)都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①lim a n a n
②当n 时，a n a .
⑵几个常用极限：
①lim C C ( C为常数) n
a 1 ........
②lim w 0 (k N,k是常数)
n n k
③对于任意实常数，
当|a| 1 时，lim a n 0
n
当 a 1 时，若 a = 1,贝U lim a n 1 ；若a 1,贝U lim a n lim ( 1)n不存在
当a 1时，lim a n不存在n
⑶数列极限的四则运算法则：
如果lim a n a, lim b b b,那么n n
①lim (a n b n) a b
n
②lim (a n b n) a b
n
③lim 色a(b 0) n b n b
特别地，如果C是常数，那么
lim (C a n) lim C lim a n Ca. n n n
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S —(q 1).
(化循环小数为分数方法同上式)
注：并不是每一个无穷数列都有极限 .
3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0 (但不等于x 0)时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数 a,
就是说当x 趋近于x 0时，函数f(x)的极限为a .记作lim f(x) a 或当x
x o 时，f(x) a.
x x 0 注：当x x 0时，f (x)是否存在极限与 f(x)在x 0处是否定义无关，因为 x x 0并不要求 x x 0.(当然,f (x)在x 0是否有定义也与 f(x)在x 0处是否存在极限无关.函数f (x)在x 0 有定义是lim f (x)存在的既不充分又不必要条件 .)
X x 0
,
x 1 x 1 如P(x) 在x 1处无正义，但lim P(x)存在，因为在x 1处左右极限均等于夸. ⑵函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b ,那么
① lim (f (x) g(x)) a b
x x 0 ② lim (f (x) X x 0
g(x)) a b
③lim 也
x x
0 g(x) a (b 0) b
特别地，如果 C 是常数，那么 lim (C f (x)) x x 0 C lim f (x). x 5
lim[f(x)]n x x 0 [lim f(x)]n ( n x x 0
注：①各个函数的极限都应存在 .
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况
⑶几个常用极限：
小 1 ① lim 0 n x
② lim a x 0 (0v a < 1)； lim a x 0 ( a > 1)
x x
③ lim 业1响二1 x 0 x x o sinx
④ lim (1 1)x e, lim (1 x尸 e ( e 2.71828183) x x x 0
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f( x), g (x)在某一点x x0连续，那么函数f (x) g(x), f(x) g(x)^f(x) (g(x) 0) g(x)
在点x x o处都连续.
⑵函数f (x)在点x x o处连续必须满足三个条件：
①函数f (x)在点x x0处有定义；②lim f (x)存在；③函数f (x)在点x x0处的极限值x x0
等于该点的函数值，即lim f(x) f(x0).
⑶函数f (x)在点x x°处不连续(间断)的判定：
如果函数f (x)在点x x。
处有下列三种情况之一时，则称x。
为函数f (x)的不连续点.
①f (x)在点x x0处没有定义，即f(x°)不存在；②lim f (x)不存在；③lim f (x)存在,
但Jim f (x) f(x0).
⑴零点定理：设函数 f (x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a) f (b) 0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f (x)的一个零点，即至少有一点(a v v b)使f( ) 0 .
⑵介值定理：设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在这区间的端点取不同函数值，
f(a) A, f(b) B,那么对于A,B之间任意的一个数C ,在开区间(a,b)内至少有一点，使得f( ) C (a v v b ).
⑶夹逼定理：设当0 | x x01 时，有g(x)< f (x) < h(x)，且lim g(x) lim h(x) A,则
必有lim f (x) A.
X x0
注：|x x°|：表示以x0为的极限，则| x x0 |就无限趋近于零.(为最小整数)
6. 几个常用极限：
0,q
②lim
n
③lim
n
④lim
n
⑤lim
n
n
a
n!
k
n
n
a
ln n
血：0( 0,k为常数)
n
0(a
0(a
0)
1,k为常
数)
q n
①lim
n。