江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1 A.2 B.3 C.4D.28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6B.7C.8D.910.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61 B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为216.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．16.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．19.已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈的图象在点(1M ，f （1）)处的切线方程为1230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[2-，4]的最值．21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、【答案】A2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点【答案】C3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.【答案】A4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.【答案】B5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1A.2B.3C.4D.【答案】A6.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -【答案】D7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.【答案】C8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.【答案】A二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6 B.7C.8D.9【答案】BC10.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2 B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 【答案】CD11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为21【答案】ACD12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+【答案】BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.【答案】4014.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．【答案】65【解答】由题意，由所有概率的和为1可得1261220a a a a +++=，54a ∴=15255((1)(2)2226346a a P P P ξξξ<<==+==+=⨯=故答案为：56同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．【答案】600【解答】分两步，第一步，先选四名老师，又分两类第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有2510C =种不同选法第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有4615C =种不同选法∴不同的选法有101525+=种第二步，四名老师去4个边远地区支教，有4424A =最后，两步方法数相乘，得，2524600⨯=，故答案为60016.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．【答案】(-∞，1](,)e +∞ ．【解答】当0a =时，22,1(),1x x x x f x e x ⎧-=⎨>⎩，()f x 在R 上有零点0；当0a <时，函数x y e ax =-在(1,)+∞上无零点，要使()f x 在R 上有零点，则函数2(2)2y x a x a =-++在(-∞，1]上有零点，故△2(2)80a a =+-，即2(2)0a -，该式对任意的0a <都成立；若0a >，要使函数2(2)2y x a x a =-++在(-∞，1]上有零点，则1(2)20a a -++，即1a ，01a ∴<；要使x y e ax =-在(1,)+∞上有零点，则方程0x e ax -=在(1,)+∞上有根，若1a e <，函数x y e ax =-的导函数为0x y e a '=->在(1,)+∞恒成立，则x y e ax =-在(1,)+∞上单调递增，则0y e a >-≥，方程0x e ax -=在(1,)+∞上无根；若a e >，说明1x =时，函数x y e =的图象在y ax =的图象的下方，则在(1,)+∞上两函数图15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不象有交点，即方程0x e ax -=在(1,)+∞上有根．综上，若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为(-∞，1](,)e +∞ ．故答案为：(-∞，1](,)e +∞ ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．【解答】（1）(3)(2)5z i --= ，55(2)33(2)352(2)(2)i z i i i i i +∴=+=+=++=+--+（2）由（Ⅰ）可知5z i =+，()(5)()(51)(5)z a i i a i a a i ∴+=++=-++ ；又()z a i + 是纯虚数，510a ∴-=且50a +≠；解得15a =．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．【解答】（1）依题意，12:2:5nn C C =，即5(1)n n n =-，解得6n =；（2）由（1）知6n =．6166(2)2rrrr r T C x C-+∴==3662r rx--由3602r -=，得4r =，∴展开式中的常数项为462C 6460-=．（3）令1x =得061524366662222C C C C +++342516066662223C C C +++=．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率【解析】甲乙两名运动员每一局获胜的概率都是12记乙以4比1获胜为事件A ，，则A 表示乙赢了3局甲赢了一局，且第五局乙赢3341111()()2228P A C =⋅⋅=记甲获胜且比赛局数多于5局为事件B,其表示甲以4比2获胜或以4比3获胜甲以4比2获胜表示前5局比赛中甲赢了3局，且第6局比赛中甲赢了，故示甲以4比2获胜的概率为33251115()(22232C ⋅=甲以4比3获胜，表示前6局甲赢了3局且第七局比赛中嘉应了故示甲以4比3获胜的概率为33361115()(22232C ⋅=故555==323216P +（B）19.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +2(a ,b ∈R )的图象在点M (1，f （1）)处的切线方程为12x +y -3=0．（1）求a 、b 的值；（2）求f (x )在[-2，4]的最值．【解答】（1）函数f (x )=x 3+ax 2+bx +2的导数为f '(x )=3x 2+2ax +b ，图象在点M (1，f （1）)处的切线方程为12x +y -3=0，可得3+2a +b =-12，3+a +b =-9，解得a =-3，b =-9；（2）由f (x )=x 3-3x 2-9x +2的导数为f '(x )=3x 2-6x -9，可令f '(x )>0，可得x >3或x <-1；f '(x )<0，可得-1<x <3，则增区间为(-∞,-1)，(3,+∞)，减区间为(-1,3)；则f (-1)=7，f （3）=-25，f (-2)=0，f （4）=-18，可得f (x )在[-2，4]的最小值为-25，最大值为7．【解析】(1）求取出的3个球至少1个红色球的概率37397112C P C =-=(2)记取出一个红色球两个白色球为事件B，取出2个红色球1个黑色球为事件C则122123243399()()()42C C C C P B C P B P C C C +=+=+=(3)ξ可能的取值为0，1，2，3．36395(0)21C P C ξ===，12363945(1)84C C P C ξ===，2136393(2)14C C P C ξ===，33391(3)84C P C ξ===．则ξ的分布列为：ξ0123P521458431418421.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．【解析】：（1）'()(1)xf x kx k e k=+--1'()()x x xf x xe e k e -=-+要想切线斜率与k 无关，即要10xxxe e +-=令1()xxg x xe e =+-显然(0)0g =，故00x =是其中一个解。