导数的概念及运算（讲案）【教学目标】一、平均变化率与瞬时变化率【知识点】 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --要点诠释：① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率赋予不同的实际意义。

如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

要点诠释：1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。

2.x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。

若函数()y f x =为常函数，则y =0.4．函数的瞬时变化率：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．【例题讲解】★☆☆例题1．（2020·江苏张家港·高二期中）函数2()sin f x x x =-在[0,]π上的平均变化率为( ) A ．1 B ．2 C ．π D ．2π★☆☆练习1． （2020·武汉市钢城第四中学高二期中）如果函数()f x ax b =+在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a =（ ） A ．3- B ．2 C ．3D ．2-★☆☆练习2．（2020·重庆高二月考）函数2y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为（ ） A ．2x ∆+ B ．3x ∆+C ．()22x x ∆+∆D ．()23x x ∆+∆★☆☆练习3．（2020·皇姑·辽宁实验中学高二月考）函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．13★☆☆例题2：函数y =在1x =处的瞬时变化率为( )A ．2B ．12 C ．12-D ．1★☆☆练习1．有一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-，求此物体在2t =时的瞬时速度．知识点要点总结：（1）极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限．（2）求瞬时速度应先求平均速度s v t ∆=∆，再用公式0lim t s v t∆→∆=∆求得瞬时速度．如果物体的运动方程是()s s t =，那么函数()s s t =在0t t =处的导数就是物体在0t t =时的瞬时速度．二、导数的概念【知识点】 1.导数定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 要点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。

0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数。

② 0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。

即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近。

③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆或“0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．2.求导数值的一般步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆；③ 求极限，得导数：00000()()'()limlimx x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆。

也可称为三步法求导数。

3.导函数定义：由函数()f x 在0x x =处求导数的过程可以看到，当0x ∆→时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为()f x 的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆要点诠释：函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x 而言的，也就是函数()f x 的导函数。

（3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值。

导函数也简称导数，所以所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。

4.导函数求法：由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。

（2）.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(。

（3）.取极限，得导数/y ＝xy x ∆∆→∆0lim 。

5.导数的定义的几种形式：割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：()()'limx f x x f x y x ∆→+∆-=∆；或：0()()'lim x f x f x x y x ∆→-+∆=-∆；0()()'lim x f x x f x y x∆→-∆-=-∆；）000()()''()limx x f x f x y f x x x →-==-。

要点诠释：只要是0x ∆→时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式。

【例题讲解】★☆☆例题1．求函数24y x=在x=2处的导数。

★☆☆练习1.（2020·全国高二单元测试）已知()03f x '=，则()()0003lim m f x m f x m→+-=（ ） A ．13B ．1C ．3D ．9★☆☆练习2.（2020·伊美区第二中学高二期末（文））设()f x 在0x x =处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．0()f x -'B ．0()'-f xC ．0()f x 'D ．02()'f x三、导数的运算【知识点】1.常用函数()()()()()21f x C f x x f x x f x f x x=====，，，， 常用函数的导数推导过程如下： ()()00limlim0x x f x x f x C CC xx ∆→∆→+∆--'===∆∆；()()()00lim lim 1x x f x x f x x x x x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆；()()()()()222limlimlim 22x x x f x x f x x x x x x x x xx∆→∆→∆→+∆-+∆-'===+∆=∆∆；()()()2000111111lim lim lim x x x f x x f x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→'+∆--⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪∆∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭；()()00lim lim x x x f x x f x x ∆→∆→∆→+∆-'====∆ 2.基本初等函数的导数公式⑴若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ⑵若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；⑶若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=；⑷若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1f x x'=； ⑸若()sin f x x =，则()cos f x x '=；⑹若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．3. 导数的四则运算，其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数： （1）(()())()()f x g x f x g x '''±=± （2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）[()]()Cf x Cf x ''=；（4）2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（()0g x ≠）． 4.复合函数的导数复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数与函数()(),y f u u g x ==的导数之间具有关系,x ux y y u '''=⋅该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把()g x 当作一个整体，把()y f g x =⎡⎤⎣⎦对()g x 求导，再把()g x 对x 求导，这两者的乘积就是复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦对x 的导数，即()()()()f g x f g x g x '''=⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（一） 初等函数求导【例题讲解】★☆☆例题1． 用导数公式表求下列函数的导数：（1）5y x =； （2）ln7y =； （3）5x y =； （4）tan y x =．★☆☆练习1． 求下列函数的导数（1)2020y x = (2)2x y = (3)e x y = (4)ln y x = （5）cos y x =★☆☆练习2．求下列函数的导数： (1) 3x (2)21x(3)x （4）sin y x = （二） 求函数的和、差、积、商的导数★☆☆例题1．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数. （1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-★☆☆练习1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数. （1）2sin y x x =； （2）n 1l y x x=+； （3）322354y x x x =-+-.★☆☆练习2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数： （Ⅰ）22ln cos y x x x =++； （Ⅱ）3e xy x =. .★☆☆练习3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数： （1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x x y x=-+，π2x =．（三） 复合函数【例题讲解】★☆☆例题1.求下列函数的导数：（1）4)31(1x y -=； （2）)63cos(π-=x y ； （3）2ln(231)y x x =++； ★☆☆练习1. 求下列函数导数.（1）ln(2)y x =+； （2）21e x y +=； （3）2cos(21)y x =+.★☆☆练习2. 求下列函数导数.(1)82)21(x y +=； （2）21x x y +=；★☆☆例题2． 求下列函数的导数 （1）cos(2)y x x =（2）23()(9)()f x x x x=+-（3）()2(51)x f x ln x =+-★☆☆练习1． 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=-．（Ⅰ）若()3f x =，求tan x ； （Ⅱ）证明：2()sin 21f x x '=-．★☆☆练习2． 求下列函数的导数： （1）3()(1cos )(1)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+．知识点要点总结：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导； ③ 计算结果尽量简洁．④ 同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。