一、思维导图二、疑难透析1、曲线“在点P处的切线”是以点P x0，y0为切点，这样的切线只有一条，切线方程为y−y0=f′x0x−x0。

2、“过点P的切线”，点P可能是切点，也可能不是切点。

点P x0，y0不是切点时的切线方程求解步骤：（1）设出切点坐标P′x1，f(x1);（2）写出过P′x1，f(x1)的切线方程y−f(x1)=f′x1x−x1;（3）将点P x0，y0代入切线方程求出x1；（4）将x1的值代入方程y−f(x1)=f′x1x−x1可得出过点P x0，y0的切线方程。

3、图像连续不断的函数在开区间a，b上不一定有最大值（或最小值）。

若图像连续不断的函数在开区间a，b内只有一个极值，则该极值就是最值。

4、用导数法求函数单调区间的一般步骤：求定义域求导数f'(x)求f'(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义域确定f'(x)在各个开区间内的符号确定单调区间5、用导数法证明函数在 a ，b 的单调性的一般步骤：6、解决函数极值问题的一般步骤：7、导数与极值关系f ′ x 0 =0只是可导函数f x 在x 0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f ′ x 0 在x 0两侧异号.另外，已知极值点求参数时要进行检验。

三、题型示例=(x −3)e x 的单调递增区间是（A.（−∞，2） B.（0，3） C.（1，4） D.（2，+∞） 【解析】（性质法）f ′ x =e x + x −3 e x =(x −2)e x ∵当f ′ x >0时，f x 单调递增求f'(x)确定f'(x)在(a ,b)内的符号得出结论：f'(x)>0，增函数；f'(x)<0，减函数求定义域求导数f'(x)解方程f'(x)=0判断根左右f'(x)的符号极值得方程f'(x)=0根的情况得关于参数的方程（不等式）参数值（范围）求极值用极值∴(x −2)e x >0 ∵e x >0 ∴x −2>0 即x >2 【答案】D2、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0【解析】000000()()()()lim lim2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h→→+--+--='0000()()2lim2()2h f x h f x h f x h→+--== 【答案】B3、曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】∵ ∴，∴切点坐标为 ∴切线方程为 【答案】B4、曲线y = x +1 x +2 (x +3)在点A （0，6）处的切线的斜率是（ ）A.9B.10C.11D.12【解析】求函数的导数先化简解析式再求导，连乘形式先展开化为多项式再求导；根式形式 先化为分数指数幂再求导；复杂形式先化为简单分式的和、差再求导。

∵y = x +1 x +2 x +3 = x 2+3x +2 x +3 =x 3+6x 2+11x +6 ∴y ′=3x 2+12x +111xy x =+2x =-40x y ++=40x y -+=0x y -=40x y --=2211()1(1)(1)x x x y x x x +-''===+++211(21)k ==-+2221y -==-+(2,2)-40x y -+=∴曲线y 在点A 0，6 处的切线的斜率k =y ′ x=0=11 【答案】C0，0作函数f x =x +3x 图像的切线，则切线方程为 。

【解析】（分类讨论）当原点 0，0 为切点时，f ′ 0 =0，故切线方程为y =0； 当原点 0，0 不为切点时，设切点为P x 0，x 03+3x 02 (x 0≠0) 则过点P 的切线方程为y − x 03+3x 02 =f ′ x 0 (x −x 0) ∵f ′ x 0 =3x 02+6x 0 图像经过原点 0，0 ∴x 03+3x 02=3x 03+6x 02 ∴x 0=−32∴切线方程为9x +4y =0。

【解析】（性质法）f ′x =(x +1)2=x +1 2∵f x 在x =1处取极值 ∴x =1是f ′ x =0的根 将x =1代入可得3−a 4=0∴a =3 【答案】37、已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。

【解析】（性质法）（1）'232,y ax bx =+∵当1x =时，有极大值3分别求切线方程结论∴'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值8、求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

【解析】（性质法）)1)(3(515205)(2234++=++='x x x x x x x f , 当0)(='x f 得0x =，或1x =-，或3x =-， ∵0[1,4]∈-，1[1,4]-∈-，3[1,4]-∉- 列表：又(0)0,(1)0f f =-=；右端点处(4)2625f =；∴函数155345+++=x x x y 在区间[1,4]-上的最大值为2625，最小值为0。

9、已知函数，其中a 为常数。

（Ⅰ）若当恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间。

【解析】（性质法与分类讨论法）（Ⅰ） 令 )1()1ln()(+-+=x a x x x f 0)(),1[>'+∞∈x f x 时，1)()(+-'=x axx f x g xxx a a x x x x f +++<>-+++='1)1ln(01)1ln()(，则2)1(111)(1)1ln()(x x x h x x x x h +++='+++=，则当 ∴上单调递增， ∴ ∴a 的取值范围是 （Ⅱ） ①当a >1时，是减函数；是增函数②当是增函数综上所述，当a>1时，增区间为，减区间为，当时，增区间为。

10、已知函数q p qx x p x x f ),()1(2131)(23为常数+-+=（1）若),(),(),()(2121+∞-∞x x x x x f 和在上单调递减在上单调递增，且112>-x x ，求证：)2(22q p p +> w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）若31)(==x x x f 和在处取得极值，且在]6,6[-∈x 时，函数)(x f y =的图象在直线015=+-c y x l ：的下方，求c 的取值范围。

【解析】（1）qx x p x x f +-+=23)1(2131)( q x p x x f +-+='∴)1()(221,x x 是函数)(x f 的两个极真正点，则0)(,,21='x f x x 是方程的两个根， q x x p x x =⋅-=+∴21211，q p x x x x x x 4)1(4)()(221221221--=-+=-∴)2(2,042,14)1(1)(122221212q p p q p p q p x x x x +>∴>-->--∴>-∴>-即，时，0)(),1[>'+∞∈x h x ),1[)(+∞在x h ，2ln 21)1(+=<h a )2ln 21,(+-∞2)1(2)(),1(1)1()1ln()(+-+='+∞-∈-+-++=x ax x g x a x x a x x g ，，)(0)()2,1(x g x g a x ，，<'--∈)(0)(),2(x g x g a x ，，>'+∞-∈)(,0)(),1(,1x g x g x a >'+∞-∈≤，时),2[+∞-a ]2,1(--a 1≤a ),1(+∞-（2）⎩⎨⎧-=+=+⎩⎨⎧='='6300)3(0)1(q p q p f f 即 xx x x f q p 3231)(,3,323+-=⎩⎨⎧=-=∴令c x x x c x x f x F ---=+-=12231)15()()(236,2,0)(124)(212=-=∴='--='∴x x x F x x x F 令当)2,6(--∈x 时，().0)(,6,2,0)(<'-∈>'x F x x F 时当c F x F -=-=∴340)2()(max 令,340,0)2(>∴<-c F 即c 的范围为),340(+∞11、已知函数()1(,)x af x x a R e e=-+∈为自然对数的底数。

（1）若曲线()y f x =在点(1,())f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的值。

【解析】（1）∵()1xaf x x e =-+ ∴()1xa f x e '=-∵曲线()y f x =在点(1,())f x 处的切线平行于x 轴 ∴(1)0f '=，即10ae-= ∴a e =（2）（分类讨论）()1xa f x e '=- ①当0a ≤时，∵()>0f x ' ∴()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，∴函数()f x 无极值。

②当>0a 时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =。

(,ln ),()0(ln ,),()0x a f x x a f x ''∈-∞<∈+∞>；∴()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， ∴()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值。

综上所述，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当>0a 时，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值。