习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-;已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,即得圆心),(b a C 和半径r ,进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为()(A)3)1()2(22=++-y x(B)3)1()2(22=-++y x(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径,即2243546+++=dr ==3,∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ,故选(C).点评:一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( )(A))12,0(- (B ))12,12(+-(C))12,12(+--(D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+,即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点,∴线心距ar a d =>-=21,平方去分母得22212a a a >+-,解得1212-<<--a ,注意到0>a ,∴120-<<a ,故选(A).点评:一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系:⇔>r d 线圆相离;⇔=r d 线圆相切;⇔<r d 线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( )(A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .设过坐标原点的切线方程为kx y =,即0=-y kx ,∴线心距251122==++=r k k d ,平方去分母得0)3)(13(=+-k k ,解得3-=k 或31,∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=,故选(A ).点评:一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法,或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点,且弦AB 的长为32,则=a.解由已知圆4)2()1(22=-+-y x ,即得圆心)2,1(C 和半径2=r .∵线心距112++=a a d,且222)2(r AB d=+,∴22222)3()11(=+++a a ,即1)1(22+=+a a ,解得0=a . 点评:一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题:222)2(r AB d =+.五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为()(A)21 (B )53(C)23 (D) 0解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ,即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ,则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中,522cos=θ,∴5312cos 2cos 2=-=θθ,故选(B ). 点评:处理两切线夹角θ问题的方法是:先在切线长、半径r 和PC所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值,再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率=k.解 由已知圆4)2(22=+-y x ,即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ,则2-=PC k ;∵⊥PC 直线l 时弦最短,从而劣弧所对的圆心角最小,∴直线l 的斜率221=-=PCk k .点评:一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题:在同圆中,若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短,若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26(D)25解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ,即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ,则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +,最小距离为r d -,∴262)()(==--+r r d r d ,故选(C).点评:圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决:圆上的点到该直线的最大距离为r d+,最小距离为r d -.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B )]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ,即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,∴2222222=-≤++=r b a ba d ,即0422≤++b ab a ,由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ,解得3232+≤≤-k ,又3212tan-=π,32125tan +=π,∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ,故选(B).点评:处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程,进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程:(x -a )2+(y-b)2=r 2,其中(a ,b)是圆心坐标,r 是圆的半径;(2)圆的一般方程:x2+y 2+Dx+Ey+F=0 (D 2+E2-4F>0),圆心坐标为(2,2ED --),半径为r=2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一:直线:A x+By +C =0;圆:x2+y 2+Dx+Ey+F =0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二:直线:Ax+By+C=0;圆:(x -a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到直线的距离为d=⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2,半径分别为r 1、 r 2, |O 1O 2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离; |O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切;|r1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交; |O1O 2|=|r 1-r 2|⇔两圆内切; 0<|O 1O 2|<|r 1-r 2|⇔两圆内含. ●点击双基1.方程x 2+y2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y+16t 4+9=0(t ∈R)表示圆方程,则t 的取值范围是A .-1<t<71 B.-1<t <21C.-71<t <1 D .1<t <2 解析:由D2+E2-4F >0,得7t 2-6t -1<0,即-71<t <1.答案:C2.点P (5a +1,12a )在圆(x -1)2+y 2=1的内部,则a 的取值范围是 A.|a |<1 B.a<131 C.|a |<51 D .|a |<131 解析:点P 在圆(x -1)2+y 2=1内部⇔(5a+1-1)2+(12a )2<1⇔ﻩ|a |<131.答案:D 3.已知圆的方程为(x-a )2+(y -b )2=r2(r>0),下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r2时,圆必过原点B.当a=r 时,圆与y 轴相切 C.当b=r时,圆与x 轴相切D .当b <r时,圆与x 轴相交解析:已知圆的圆心坐标为(a ,b ),半径为r ,当b <r 时,圆心到x 轴的距离为|b |,只有当|b |<r 时,才有圆与x 轴相交,而b <r 不能保证|b |<r ,故D 是错误的.故选D .答案:D●典例剖析【例2】 一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y =0上,且直线y =x 截圆所得弦长为27,求此圆的方程.剖析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解:因圆与y 轴相切,且圆心在直线x -3y =0上,故设圆方程为(x -3b )2+(y -b)2=9b 2. 又因为直线y =x截圆得弦长为27,则有(2|3|b b -)2+(7)2=9b 2,解得b =±1.故所求圆方程为(x -3)2+(y-1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 夯实基础1.方程x2+y2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F>0)表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形,则 A.D +E =0B. B.D+F=0 C.E +F=0 D. D +E +F=0 解析:曲线关于x +y=0成轴对称图形,即圆心在x +y =0上.答案:A2.(2004年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有 A .1条 B.2条 C.3条 D .4条 解析:分别以A 、B 为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案:B3.(2005年黄冈市调研题)圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y+4=0对称,则k =____________.解析:圆心(-21,3)在直线上,代入kx -y +4=0,得k =2.答案:2 4.(2004年全国卷Ⅲ,16)设P为圆x 2+y 2=1上的动点,则点P 到直线3x -4y -10=0的 距离的最小值为____________. 解析:圆心(0,0)到直线3x -4y -10=0的距离d =5|10|-=2.再由d -r =2-1=1,知最小距离为1.答案:1 5.(2005年启东市调研题)设O 为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q,满足关于直线x +my +4=0对称,又满足·=0.(1)求m 的值;(2)求直线PQ 的方程.解:(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m =-1. (2)∵直线P Q与直线y =x +4垂直,∴设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),PQ 方程为y =-x+b .将直线y =-x+b 代入圆方程,得2x2+2(4-b )x+b2-6b +1=0.Δ=4(4-b )2-4×2×(b 2-6b +1)>0,得2-32<b<2+32.由韦达定理得x1+x2=-(4-b ),x1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2-b(x 1+x 2)+x 1·x2=2162+-b b +4b.∵·=0,∴x1x 2+y 1y 2=0,即b2-6b +1+4b =0.解得b =1∈(2-32,2+32).∴所求的直线方程为y=-x +1.培养能力7.已知实数x、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求(1)xy的最大值和最小值;(2)y -x的最小值; (3)x2+y 2的最大值和最小值.解:(1)如图,方程x 2+y 2-4x +1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆.设x y=k ,即y =kx ,由圆心(2,0)到y =k x的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3,解得k 2=3.所以k max =3,k min =-3.(2)设y -x =b ,则y =x +b ,仅当直线y=x +b 与圆切于第四象限时,纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式,得2|02|b +-=3,即b =-2±6,故(y -x)min =-2-6.(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连结OC ,与圆交于B 点,并延长交圆于C ′,则(x 2+y 2)ma x=|OC ′|=2+3,(x2+y 2)min =|OB |=2-3.8.(文)求过两点A (1,4)、B (3,2),且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1(2,3),M 2(2,4)与圆的位置关系.解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可. 因为圆过A 、B 两点,所以圆心在线段A B的垂直平分线上.由k AB =3124--=-1,AB 的中点为(2,3), 故A B的垂直平分线的方程为y -3=x -2,即x -y+1=0.又圆心在直线y =0上,因此圆心坐标是方程组 x -y +1=0,y =0 半径r =22)40()11(-+--=20,所以得所求圆的标准方程为(x+1)2+y 2=20.因为M 1到圆心C (-1,0)的距离为22)03()12(-++=18,|M1C |<r,所以M 1在圆C 内;而点M 2到圆心C的距离|M2C |=22)04()12(-++=25>20,所以M2在圆C 外.的解,即圆心坐标为(-1,0).“求经过两圆04622=-++x y x和028622=-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。