d2 y dx2

2
y
dy dx

sin
x

0
都是二阶微分方程.
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第四章 微分方程
n 阶微分方程的一般形式是:
F (x, y, y, y , y(n) ) 0,
(10)
其中 x 为自变量, y y(x) 是未知函数.在方程(10)中 y(n) 必须出现, 而其他变
量可以不出现, 例如, n 阶方程 y(n) ex .
因此
R

R ektt0 0

即为所求.
9
第四章 微分方程
例 3 已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例. 记在某一
时刻 t t0 , 镭的余存量为 R0 g, 试确定镭在任意时刻 t 的余存量 Rt .
注 式子 dR t kR t 即为微分方程, 它表示函数 Rt 的一个变化规律,
例 2 列车在平直线路上以 20m/ s (相当于 72km/h )的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 0.4m/s2 . 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间 里行驶了多少路程?
把条件 s |t0 0 代入(7)得 0 C2
把 C1 , C2 的值代入(6)及(7方程:
第四章 微分方程
含有未知函数及其导数（或微分）与自变量的等式称为微分方程(其 中自变量､未知函数可以在方程中不出现, 但未知函数的导数必须出现).
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第四章 微分方程
2､微分方程的阶:
微分方程中出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶.. 一阶微分方程的一般形式为
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第四章 微分方程
4､微分方程的初值问题: 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解, 此时, 这类附加条件就可 以用来确定通解中的任意常数, 这类附加条件称为初始条件. 例如, 条件(2)和(5) 分别是微分方程(1)和(4)的初始条件. 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
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第四章 微分方程
根据题意, x x(t) 还需满足条件 x(0) 0, dx 0. dt t0
O m x=x(t)
x 图4-2
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第四章 微分方程
例 6 试指出下列方程是什么方程, 并指出微分方程的阶数.
(1) dy x2 y; dx
(3)x
2 12 C ,
由此定出 C 1. 把 C 1代入(3)式, 得所求曲线方程
y x2 1. (称为微分方程满足初始条件 y |x1 2 的特解)
5
第四章 微分方程
例 2 列车在平直线路上以 20m/ s (相当于 72km/h )的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 0.4m/s2 . 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间 里行驶了多少路程?
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第四章 微分方程
例 3 已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例. 记在某一
时刻 t t0 , 镭的余存量为 R0 g, 试确定镭在任意时刻 t 的余存量 Rt .
解 由于 dR t 是镭的增长速度, 因此裂变速度(减少速度)应为 dR t , 从
dt
dt
而按裂变规律, 有 dR t kR t , 其中 k 为比例系数. 要解决上述问题, 就要确
(13)
dt
其中 k (k 0) 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.
根据题意, T T (t) 还需满足条件
T |t0 100 .
(14)
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第四章 微分方程
例 5 设一质量为 m 的物体只受重力的作用由静止开
始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律:物体所受的力 F 等
于物体的质量 m 与物体运动的加速度 a 成正比, 即
5､微分方程的积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 称为微分方程的积分曲线. 由于通解中含 有任意常数, 所以它的图形是具有某种共同性质的积分曲线族. 例如, 例 1 中的 通解 y x2 C 是抛物线族, 这些图形的共性是每一条抛物线上任意一点
M (x, y) 处的斜率均为 2x . 而方程的特解是过点 (1, 2) 的一条抛物线, 也就是说, 特解是积分曲线中满足初始条件的某一条特定的积分曲线(见图 4-1).
v 0.4t 20,
(8)
s 0.2t2 20t ,
(9)
在(8)式中令 v 0 , 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
t 20 50(s) . 0.4
再把 t 50 代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程
s 0.2502 2050 500m .
dt
即其减少速度 dR t 与其本身 Rt 成比例. 尽管我们是从镭的裂变这一特殊问
dt 题导出此方程, 但此方程应用远不止此, 只要某物理量的变化服从同样的规律, 就可用此方程来确定.
上面的几个例子, 尽管实际意义不同, 但是解决问题的方法都是首先建立一 个含有未知函数的导数的方程, 然后通过这个方程, 求满足所给的条件的未知函 数.
恒等式, 称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说, 设函数 y (x) 在区间 I 上有 n 阶连续导数, 如果在区间 I 上, 有
F (x,(x),(x),(x) , (n) (x)) 0, 则称函数 y (x) 为微分方程(10)在区间 I 上的解.
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第四章 微分方程
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第四章 微分方程
例 4 设一物体的温度为 100℃, 将其放置在空气温度为 20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的 温度T 与时间 t 的函数关系为T T (t) , 则可建立起函数T (t) 满足的微分方程
dT k(T 20)
如果能从方程(10)中解出最高阶导数, 就得到微分方程
y(n) f (x, y, y, , y(n1) ).
(11)
以后我们讨论的微分方程组主要是形如(11)的微分方程, 并且假设(11)式右 端的表达式 f 在所讨论的范围内连续.
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第四章 微分方程
如果方程(11)可表为如下形式:
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y g(x)
数的方程, 例如
y ' y tan x cos x ,
dy 4x , dx y(x 3)
y '' 3y ' 2 y e3x ,
下面通过几个具体的例子来说明微分方程的基本概念.
3
例 1 一曲线通过点 (1, 2) (见图 4-1), 且在该
曲线上任一点 M (x, y) 处的切线的斜率为 2x ,
3､微分方程的解: 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解). 一 般地, 微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 方程的通解是一类 解, 而不是指方程的“全部解”. 实际上, 我们在求解方程时得到一些解, 很难说 明这些解是否构成了方程的“全部解”, 这种工作有时会比求解方程本身还困难, 而实际工作中又告诉我们无须去做这样的工作, 因此我们将关注点放在求方程 的通解和特解上. 注 这里所说的相互独立的任意常数, 是指它们不能通过合并而使得通解 中的任意常数的个数减少.
解这种方程, 同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 比如, 已知 y ' cos 2x ,
由不定积分的计算很容易知道 y 的表达式:
y


cos
2xdx

1 2
sin
2x

C
但是如果已知 y ' y cos 2x , 仅仅是求原函数的公式是不够的, 它需要利用
微分方程自己的一些方法和技巧才能得到 y 的表达式.
求该曲线的方程
解： 设所求曲线的方程为 y y(x) ，根据
导数的几何意义，可知未知函数 y y(x) 应满足
关系式
dy 2x (称为一阶微分方程)
(1)
dx
此外, 未知函数 y y(x) 还应满足下列条件:
第四章 微分方程
y
3
2
(1,2)
1
O
图4-1
x 1时, y 2 , 简记为 y |x1 2 (称为初始条件) (2)
简记为 s |t0 0 , s ' |t0 20 . (两个初始条件)
(5)
6
第四章 微分方程
例 2 列车在平直线路上以 20m/ s (相当于 72km/h )的速度行驶, 当制动时列
车获得加速度 0.4m/s2 . 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间
里行驶了多少路程?
F ma , 若取物体降落的铅垂线为 x 轴, 其正向朝下, 物
体下落的起点为原点, 并设开始下落的时间是 t 0 , 物体
下落的距离 x 与时间 t 的函数关系为 x x(t) (见图 4-2), 则
可建立起函数 x(t) 满足的微分方程
d2x dt 2

g
其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
解 设列车在开始制动后 t 时行驶的距离为 s 米 根据题意, 反映制动阶段
列车运动规律的函数 s s(t) 应满足关系式
d2s dt 2

0.4

(称为二阶微分方程)
(4)
此外, 未知函数 s s(t) 还应满足下列条件:
t 0 时, s 0 , v ds 20 dt
F(x, y, y) 0 .
例如方程 y ' y x2 0 ,