ξ、η 等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1， x2 ，……， xi ，……， 取每一个值 xi （
所以商家拒收这批产品的概率为 95 ． 例 12．
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即
432
被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5 、 5 、 5 ,且各轮问 题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）
（1） 二项分布
n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为
P P( k ) Ck pk qnk
q 1 p
0，1，2，…n，并且 k
n
，其中0 k n，
，随机变量 的分布列
如下：
0
1
…
k
…
n
P
C 0 p 0 qn n
C1 p1qn1 n
…
Ck pk qnk n
及推理和运算能力.
[解答提示]至少有 3 人出现发热反应的概率为
C3 0.803 0.202 C 4 0.804 0.20 C5 0.805 0.94
5
5
5
.
故填 0.94.
离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母
Cn pn q 0 n
称这样随机变量 服从二项分布，记作 ~B(n , p) ，其中n 、 p 为参数，并记：
Cknkpnqk b(k ; n , p) .
（2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随 机变量，“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量 的概率分布为：
的分布列及期望 E ,并求出该商家拒收这批产品的概率. [解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A
PA 1 P A 1 0.24 0.9984
用对立事件 A 来算，有
（Ⅱ） 可能的取值为0,1,2 ．
P 0
C172 C220
191036，
P 1

C1C1
P( A) m
依公式
n 求值;
答，即给问题一个明确的答复.
(2) 互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P( A )＝P(A＋ A )＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ Cnkp (k1 p)
n
(1
p)nk
求
解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例 1． 在五个数字1，2，3，4，5中，。
例 2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
P C31 3 3 .
C3 5 4 10
5
[解答过程]0.3 提示:
2
例 2．一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样
本，则指定的某个个体被抽到的概率为
．
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1.
P51.
[解答过程] 20 提示: 100 20
例 3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现
发热反应的概率为
.（精确到 0.01）
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以
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高中数学之概率与统计
求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
card(A) m (1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ card(I ) ＝ n ; 等可能事件概率的计算步骤：
计算一次试验的基本事件总数n;
设所求事件 A，并计算事件 A 包含的基本事件的个数m ;
3 17
C2
51
190 ，
20
P 2 C32 3
C220 190
0
1
2
E 0 136
记“商家
P 51 3
1 190 2190
3119306 0
51 190
3 190
1产90品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率
． 任取 2 件
P 1 P B 1 136 27
190 95 ．
27
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1
2
3
…
k
…
P
p
qp
q2 p
…
qk 1 p
…
例 1． 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机
抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1 件是合格的概率； （Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品中,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件. 都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数
和 事 件
第二步，判断事件的运算积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
等 可 能 事 件 : P( A) m
n
互斥事件：P( A 独立事件：P( A
B) B)
P( P(
A) A)
P(B) P(B)
第三步，运用公式
n次 独 立 重 复 试 验 :P
(k
n
)
Ck pk
nk
.其中 P 为事件 A
在一次试验中发生
的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第 k+1 项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
求概率的步骤是：
等可能事件 互 斥 事 件 独 立 事 件
第一步，确定事件性质 n 次 独 立 重 复 试 验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
i 1，2，……）的概率 P（ xi ）= Pi，则称下表.
x1
x2
…
xi
…
P
P1 P2 … Pi …
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1） Pi 0 ， i 1，2，…;（2） P1 P2 …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：