样本
样本观察值
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第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本
二 . 样本分布
1，若总体 X 为离散型随机变量，其概率分布为 P(X = x)，
n
则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为： P { X x 1 ,X x 2 , ,X x n } P (X i x i) i 1
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P (X 1x1, X nxn)px1(1p)1 x1 pxn(1p)1 xn
n
n
xi
n xi
pi 1 (1p) i 1
解 利 ： 1 用 ，例 样 (X 1,X 2)本 的联合f密 (x 1,x2) 度 11 0函 00 0x 其 1 数 ,x2 1 他 为 0
f(y)f(x1,yx1)d1x
y 0
1 100
dx 1
10 1 y 10 100 dx 1
0
0 y 10 10 y 20
其他
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X ( 同分布) 。
样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。
样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
一 . 总体与样本 定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X 。 为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就 是一个 n 维随机变量(或向量)。
解 利 ： 1 用 ，例 样 (X 1,X 2)本 的联合f密 (x 1,x2) 度 11 0函 00 0x 其 1 数 ,x2 1 他 为 0
f(y)f(x1,yx1)d1x
y1 0 100 dx 1 10 1 y 10 100 dx 1
样本的 f(x 1 联 ,x 2 , ,x n 合 )i n 1f密 (x i) 1 度 (b 0 a )n为 a x 1 ,其 ： x 2 , x n 他 b
三 . 统计量
为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数 Y = g (X1,X2,…,Xn) 一般是一个一元随机变量，利用其概率分布或密度函数 ，可以求出一些事件的概率。
上述 X 称为总体，(X1,X2,…,Xn) 称为样本，其中 Xi 称为个体。
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
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第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
现从该批产品中有放回抽取 n 次， 以 Xi ：“0 — 第 i 次取到正品；1 — 第 i 次取到次品”(i = 1,2,…,n)， 得到 n 维随机变量 (X1,X2,…,Xn)，其中 Xi ~ X，且相互独立。
由此 n 维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的概率分布为：
P ( X 1 x 1 , X n x n ) p x 1 ( 1 p ) 1 x 1 p x n ( 1 p ) 1 x n( x i 0 , 1 )
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第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
三 . 统计量
为对总体进行统计推断，需由样本构造一些合适的函数。样本的函数 Y = g (X1,X2,…,Xn) 一般是一个一元随机变量，利用其概率分布或密度函数 ，可以求出一些事件的概率。
例2：已知某型号显象管的使用寿命 —— 总体 X ~ U(0，10)。现从该批产 品中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1，X2)，求样本的函数 Y = X1 + X2 的 密度函数，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本 第二节 抽样分布 第三节 总体分布的估计
上海第二工业大学 孙卫平
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第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本 第一节 总体与样本
例如：一批产品的次品率为 p (未知)，设随机变量 X：“0 — 正品；1 — 次品”。显然 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1)。
(xi0 ,1 )
2，若总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f (x)，
n
则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合密度为： f(x1,x2,,xn) f(xi)
i1
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第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
二 . 样本分布
2，若总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f (x)，
n
则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合密度为： f(x1,x2,,xn) f(xi)y10 Nhomakorabea 20
100
y
0
0 y 10 10 y 20
其他
P(Y1)5
15
10
f(y)dy
y
dy15 20 ydy
1
3
7
0 100 10100 2 8 8
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第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
例2：已知某型号显象管的使用寿命 —— 总体 X ~ U(0，10)。现从该批产 品中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1，X2)，求样本的函数 Y = X1 + X2 的 密度函数，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i1
例1：已知某型号显象管的使用寿命 — 总体 X ~ U(a，b)，其中 a，b 未知 。现从该批产品中有放回抽取 n 次，以 Xi：“第 i 次取到产品的使用寿命” 。 得到一样本 (X1，X2，…，Xn) ，求样本的联合密度 f (x1，x2，…，xn)。
解： X 的 总 密 体 ： 度 f(x) 函 1(b 0 a 数 ) a其 x 为 b他