全等三角形知识点总结及复习、知识网络•对应角相等 对应边相等I r作图角平分线性质与判定定理、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义：能够完全重合的两个 三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中 的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合 的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（1） 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2） 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3） 有公共边的，公共边一定是对应边； （4） 有公共角的，角一定是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1） 三边对应相等的两个三角形全等。

（2） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3） 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

'边 边 边 角形J边 角 边判定J角 边 角角 角 边斜 边 、 全等形、全等三SSS SAS ASA AAS直角边 HL（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等（AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）（三）经典例题例1.已知：如图所示，AB=AC , 一一一「二亠 ~ ■■ ■■,求证l∙''1'.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。

求证：I-二AL二例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC ,求证：二匸厶例4.如图所示垂足分别为D、E, BE与CD相交于点0,且］二求证：BD=CE。

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠ BAD、CE⊥AB于E，且∠ B+ ∠ D=180。

求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ,连结FC，可证出ADC BAAFC,问题就可以得到解决。

证明（一）：在AE上截取AF=AD ,连结FC。

在AFC和ADC中L AF = AD已作■ 1二/2已知AC=AC （公共边）AFC B ADC （边角边）∙∙∙∠AFC= ∠ D （全等三角形对应角相等）τ∠B+ ∠D= 180 （已知）∙∠B= ∠ EFC （等角的补角相等）在CEB 和-CEF 中Z B E EFC 已证*∕CEB =N CEF =90 °（已知） CE=CE （公共边）Λ . ：CEB BuCEF （角角边） ∙∙∙ BE=EF ∙∙∙ AE=AF+EF ∙ AE=AD+BE （等量代换） 证明（二）： 在线段EA 上截EF=BE ,连结FC （如右图）。

小结：在几何证明过程中，如果现成的三 角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。

（四）全等三角形复习练习题一、选择题 1. 如图，给出下列四组条件： ① AB =DE , BC =EF , AC =DF :② AB =DE,. B= . E , BC ③.B- E , BC=EF , . C- F :④ AB=DE , 其中，能使 △ ABC B △ DEF 的条件共有（ ）A . 2. 如图，D , E 分别为△ ABC 的AC , BC 边的中点， 的点P 处•若.CDE =48 °则/APD 等于（ 3. 如图 △ =EF ； AC=DF , . B=E . 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 将此三角形沿D E 折叠，使点C 落在AB 边上 APC） （四），点P 是AB 上任意一点，∙ ABC B △ APD .从下列条件中补充一个条件，不一定能 =.ABD ,还应补充一个条件，才能推出 推出△ APC B △ APD 的是（ ）BC A . =BD B . AC = AD C . . ACB- ADB.52 ° D . O58ABC DEF ,不能添 A图（四）加的一组条件是（） （A ） ∠ B= ∠ E,BC=EF （ B ） BC=EF , AC=DF 如图， △ABC 中，∠ C = 90 ； AC = BC , AC = 10cm ,贝U △DBE 的周长等于（ A . 10cm B . 8cm C . 6cm 如图所示，表示三条相互交叉的公路， ）A. 1 处5. 若6. 则可供选择的地址有（（C ） ∠ A= ∠ D , ∠ B= ∠ E （ D ）∠ A= ∠ D , BC=EF AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E , D . 9cm 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等, B. 2处 C. 3处 D. 4处博士教育李老师4题图C7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了 么最省事的方法是（）A .带①去3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那D .带①②③去B .带②去 C .带③去&如图，在 Rt △ ABC 中，∙ B =:90 ，ED 于点E .已知∙ BAE =10 ■,则∙ C 的度数为 是AC 的垂直平分线，交 AC 于点D ，交BCA . 30B . 40C . 50D . 609. 如图， △ ACB 4 △ ACB , . BCB =30 A . 20° B . 30° 10. 如图，AC = AD , BC = BD ,则有A . AB 垂直平分CD1题图C . AB 与CD 互相垂直平分,则.ACA •的度数为（11.尺规作图作 OABB . CD 垂直平分 D . 40°ABACBD . CD 平分∠ 10题图.AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交1再分别以点 C 、D 为圆心，以大于 一CD 长为半径画弧，两弧交于点2OA 、,作射线 OP,由作法得 △ OCP 4 △ ODP 的根据是（ ）A . SAS B . ASA C . AAS D .12. 如图,∠ C=90o ,AD 平分∠ BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3c∏则点D 到AB 的距离为（13. 如图，OP 平分.AOB , （）A . PA14. 如图，已知 SSS)A. 5cm B. 3cm C. 2cm D.不能确定PA 丄OA , PB 丄OB ,垂足分别为 A , B .下列结论中不一定成立的是B . PO 平分.APBC . OA =OBD . AB 垂直平分 OP4 △ ADC 的是( )D . ∠ B - ∠ D = 90=PBAB =AD ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ABC B . ∠ BAC =∠ DAC C . ∠ BCA = ∠ DCA 12题图13题图C14题图、填空题1. 如图，已知AB=AD , . BAE =V DAC ,要使 △ ABC △ ADE ,可补充的条件是（写出一个即可） ________________ .2. 如图，在厶 ABC 中，∠ C=90o ,AC=BC,AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D,DE ⊥AB 于 E,且 AB=5cm 则△ DEB 的周长为__5个大三角形中白色三角形6. 已知：如图，△OA dA OBQ 且∠ ______ 70°,∠ C = 25° ,则∠ AEB=度.7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ,E 重合），在AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE 、 AD 与BE 交于点O , AD 与BC 交于点P , BE 与CD 交于点 Q ,连结PQ.以下五个结论：① AD=BE ; ②PQ // AE :③ AP=BQ ; @ DE=DP :⑤/ AOB=60 ° .恒成立的结论有 _________________________ （把你认为正确的序号都填上）∠1 = ∠2 ,添加一个适当的条件，使 △ ABC 也A ADE ,则需要添加的条件是3.如图，.BAC =. ABD ,请你添加一个条件: ____________ ,使OC=OD （只添一个即可）4. _______________________________ 如图，在Δ ABC 中，/ C=90°∠ ABC 的平分线 则点D 到直BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米,1题图2题图 3题图8.如图所示，AB = AD , 4题图5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第三、解答题1.如图，已知AB=AC , AD=AE ,求证：BD=CE.2. 如图，在△ABC中，AB =AC, £BAC =40 °分别以AB, AC为边作两个等腰直角三角形ABD和AC E ,使乙BAD /CAE =90 °.(1)求.DBC的度数；(2)求证：BD=CE .3. 如图，在△ ABE中，AB= AE,AD= AC,∠ BAD=∠ EAC, BC DE交于点O.求证：(1) △ ABC^△ AED (2) OB= OE .4. 如图，D是等边△ ABC的边AB上的一动点，以的一组全等三角形，并说明理由.ECD为一边向上作等边△ EDC,连接AE ,找出图中E5. 如图，在△ ABC 和厶DCB 中，AB = DC , AC = DB , AC 与DB 交于点M . (1)求证：△ ABC ◎△ DCB ; (2)过点 C 作 CN // BD ,过点 B 作 BN // AC ,7.如图，在 △ ABC 和△ ABD 中，现给出如下三个论断：①AD =BC •,②.C =/D ; 3.12 •请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题.(2)请选择一个真命题加以证明.你选择的真命题是： ---------- 一 _____________J判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论.CC6.如图，四边形ABCD 求证：(1) △ ABC 幻 CN 与BN 交于点N ,试(1)写出所有的真命题(写成形式，用序号表示)证明:8.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上， AB =DC , BE = CF , ∠ B =∠ C .求证：OA = OD .11. 已知：如图， DC // AB ,且DC=AE , E 为AB 的中点,(1)求证：△ AED 也厶EBC.9. 如图，△ ABC 中，∠ BAC=90度，AB=AC , BD 是∠ ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证：BD=2CE .10. 如图， AB =AC, AD _ BC 于点D , AD =AE , AB 平分DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除△形.(直接写出结果，不要求证明)： EBC 夕卜，请再写出两个与△ AED 的面积相等的三角C12. 如图①，E 、F 分别为线段 AC 上的两个动点， 且DE 丄AC 于E, BF 丄AC 于F ,若AB=CD , AF=CE , BD 交AC 于点M .(1) 求证：MB = MD , ME = MF(2) 当E 、F 两点移动到如图②的位置时， 其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明； 若不成立请说明理由.13已知：如图 A 、D 、C 、B 在同一直线上,求证：(1) DF // CE (2) DE=CF 14. 如图，已知在△ ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高，在BE 上截取BD = AC , 在CF 的延长线上截取CG = AB ,连结AD 、AG ,贝U AG 与AD 有何关系？试证明你的结 论AC=BD , AE=BF , CE=DF A15. 如图，已知BE⊥AC于E, CF⊥AB于F, BE、CF相交于点D ,若AB=AC .求证：AD 平分∠BAC .16. 如图，∠ B= ZC=90 ° M 是BC中点，DM 平分∠ADC ,求证：AM 平分∠ DAB .17. 如图，在△ ABC 和厶DBC 中，∠ ACB = ∠ DBC = 90o, E 是BC 的中点，EF⊥ AB ,垂足为F,且AB = DE .1 8.如图，AD是厶ABC的角平分线，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为E、F ,连接EF, EF与AD交于G ,AD与EG垂直吗？证明你的结论。