数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。

由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。

已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。

已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。

已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。

为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。

飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。

又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。

3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。

（1）设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=rR;，R为地球半g径，r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。

要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v应为多少。

（2） 设火箭飞行中速度为v （t ），质量为m （t ），初速为零，初始质量0m ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽视重力和阻力对火箭的影响。

用动量守恒原理证明v （t ）=)(ln 0t m m u 。

由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。

（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料仓等）s m ，其中s m 在f m +s m 中的比例记作λ，一般λ不小于10%。

证明若p m =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为m ν=-λln u .已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求m ν。

这个结果说明什么。

（4） 假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v （t ）=（1-λ）u )(ln 0t m m 。

问燃料用完时火箭末速为多少，与前面的结果有何不同。

（5） （4）是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的机构部分。

记i m 为第i 级火箭质量（燃料和结构），λi m 为结构质量（λ对各级是一样的）。

有效载荷仍用p m 表示，当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火。

再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k 。

证明3级火箭的末速3ν=3uln 11++k k λ。

计算要使3ν=10.5km/s ，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（u ，λ用以前的数据）。

若用2级或4级火箭，结果如何。

由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。

4．评选优秀班集体用AHP 建立评选优秀班集体的数学模型（以四个班为例进行评价）5．梯子长度问题一栋楼房的后面是一个很大的花园。

在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽a=2米，高b=3米，温室正上方是楼房的窗台。

清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。

因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。

现在清洁工只有一架7米长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？若取a=1.8米，在只用6.5米长梯子的情况下，温室最多能修建多高？6．曲线拟合预期的只的绝对偏差总和为最小。

（2）求拟合以上数据的直线，目标为使y的观察值同预期值的最大偏差为最小。

（3）求拟合以上数据的二次曲线y=cx^2+bx+a，分别用（1）（2）两种目标。

7．疏散问题甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。

现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。

除去因政府鼓励这样做之外，还有用房便宜、招工方便等好处。

对这些好处已作出数量估价，单位万元如下：然而，疏散之后各部门见的通讯费用将增加。

各部门间的通讯量如表：不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：元）试求各个部门应置于何市，使年费用最少？8．鱼雷击舰问题一敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方1公里处。

我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。

问敌舰航行多远时将被击中。

9．投资模型投资一笔钱，即可获得某种利率的利息。

通常一些小储户，当有钱时便一笔一笔地存入。

同时，当因某种特别需要时—如去度假，又将资金提出。

即你帐上的资金量不仅取决于你存去的日期，还取决于如何计息。

而利息也是经常变动的，这样情况会更加复杂。

构造一个数学模型来告诉你在任一时刻你的银行帐上有多少钱。

（存款每月按复利计息，每项存款在存入后的第二个月即开始得利）。

一个“相反”的问题是：为某种用途需12个月内存一笔钱，每个月你应存入多少。

10．保险储备策略问题某企业每年耗用某种材料3650件，每日平均耗用10件，材料单价10元，一次订购费25元，每件年储存费2元，每件缺货一次费用4元，平均交货期101）求最佳订货量及订货次数（设为不允许缺货的情形）2）求最佳订货点和保险储备量（考虑订货期内需求量增加引起缺货，建立保险储备。

订货期内缺货，采取缺货不处理方式，寻求目标函数使年度总费用最小）注释：保险储备：企业在经济活动中，按照某一经济定货批量和在定货点发出订单后，如果需求量增大或送货延迟，就会发生缺货或供货中断。

为防止由此造成的损失，需要多储备一些存货以备应急之需，称为保险储备（安全存量）。

这些存货在正常情况下不动用，只有当存货过量使用或送货延迟时才动用。

11题：适当换车真的省钱吗？本市出租车收费制度在98年进行了调整，由原来5公里起步价14.4元、每公里车费1.8元变为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里增收50％、特殊时段(23：00～6：00) 每公里增收30％。

制度改变后，一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。

可现在，这种乘客越来越少见了。

请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。

12、购房购车模型“自备款只需七万元人民币，其余由银行贷款，五年还清，相当于每月只需付1200元，就可拥有属于自己的住房。

”“首付三四万元，就可开走一辆桑塔纳车。

”报纸上此类广告比比皆是，买房与购车是未来消费的两大热点。

若考虑现金支付与银行贷款相结合的办法，利用数学建模方法为工薪阶层制定购房或购车的消费决策及还贷办法。

13、食品加工一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。

原料油有两大类，共5种：植物没2种，分别记作V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。

各种原料油均从市场采购。

现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/吨）如下表所示：月份油V1 V2 O1 O2 O3一1100 1200 1300 1100 1150二1300 1300 1100 900 1150三1100 1400 1300 1000 950四1200 1100 1200 1200 1250五1000 1200 1500 1100 1050六900 1000 1400 800 1350成品油售价1500元/吨植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。

每个月最多可精炼植物油200吨，非植物油250吨。

精炼过程中没有重量损失。

精炼费用可以忽略。

每种原料油最多可存贮1000吨备用。

存贮费为每吨每月50元。

成品油和经过精炼的原料油不能存贮。

对成品油限定其硬度在3至6单位之间。

各种原料油的硬度如下表所示：油V1 V2 O1 O2 O3硬度8．8 6．1 2．0 4．2 5．0假设硬度是线性地合成的。

为使公司获得最大利润，应取什么样的采购和加工方案。

现存有5种原料油每500吨。

要求在6月底仍然有这样多的存货。

研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。

考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2x%；3月份植物油价上升2x%，非植物油价上升4x%；其余月份保持这种线性上升势头。

对不同的x值（直到20），就方案的必要的变化及对总利润的影响，作出全面计划。

14、食品加工（Ⅱ）对食品加工问题12.1，附加下列条件：（1）每个月最多使用3种原料油；（2）在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨；（3）如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。

扩展食品加工模型以包含这些限制条件，并求出新的最优解。

15、工厂计划某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。

工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之剩余。

每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：收益10 6 8 4 11 9 3磨0.5 0.70 0 0 0.3 0.2 0.50.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0垂直钻孔0.2 0 0.8 0 0 0 0.6水平钻孔镗孔0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08刨0 0 0.01 0 0.05 0 0.05本月（一月）和随后的5个月中，下列机床停工维修：一月磨床一台二月卧式钻床2台三月镗床一台四月立式钻床一台五月磨床一台，立式钻床一台上台下六月刨床一台，卧式钻床一台各种产品各月份的市场容量如下表：产品P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7一月 500 1000 300 300 800 200 100二月 600 500 200 0 400 300 150三月 300 600 0 0 500 400 100四月 200 300 400 500 200 0 100五月 0 100 500 100 1000 300 0六月500 500 100 300 1100 500 60每种产品存货最多可到100件。

存费每件每月为0.5。

现在无存货。

要求到6月底每种产品有存货50件。

工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。

不需要考虑排队等待加工的问题。

为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？考虑价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。

注意，可假设每月仅有24个工作日。

16、工厂计划（Ⅱ）在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是如问题12.3那样规定3月份，而是选择最合适的月份维修。

除了磨床外，每台机床在这个月中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。

扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。

停工时间的这种灵活性价值如何？12．5人力计划某公司正经历一系列变化，这要影响到它的未来几年中的人力需求。

由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量交下降，从而减少对各类人力的需求。