从函数角度浅谈数学对经济学的贡献
摘要：数学思想在经济学领域的应用极大地推动了经济学的发展，经济学的成长离不开数学的贡献。

数学与经济学的结合创造了20世纪以来经济史上一个个伟大的奇迹。

本文从函数角度来对数学对经济学产生的的影响进行简单的剖析。

关键词：经济学；函数；函数最值；效用函数；
1 前言
数学是科学的皇后，其重要地位可见一斑。

“王后”地位的奠定不仅在于数学本身的成就，更体现在数学对其他学科深远的影响。

作为应用最广泛的科学，数学促进了化学、物理、美术、政治学等的发展，可以说，没有数学，就没有现在璀璨的人类文明。

而经济学作为众多科学的一支，同样不可避免地受到了数学的影响。

经济学的发展虽然只有百年的历史，但是数学对它的贡献却贯穿其发展始终。

每一个优秀的经济学家，前提必先是一个卓越的数学家。

无论是诺贝尔经济学奖得主弗里德曼，还是提出震惊世界的“凯恩斯主义”的凯恩斯，亦或是写出“现代经济计量学的宣言书”的哈维尔莫，都无法逃脱这一规律。

而导数思想，函数思想，极限思想，最优化求解，微积分，偏导数等等都被引入经济学中得到了极大地应用。

本文从函数角度来浅析数学对经济学的贡献。

函数是应用广泛的数学思想之一，其主要任务就是通过公式和图像来表示两类数字之间的关系。

经济学中的需求函数、供给函数、价格提供曲线、反需求函数等无一不是对数学思想的完美应用。

2 例子
2.1 函数最值在经济学中的应用
（1）提出问题
在经济生活中，经常会遇到在一定条件下，怎样用料最省、产量最多、效率最高、成本最低等问题，这些问题在数学上有时可以归结为求某一函数的最大值或最小值问题。

随着经济与数学的联系日益密切，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用函数中的最值可以对经济活动中的实际问题进行最优化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

最值概念
最小值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数x∈I，都有M≤f(x)；存在0x∈I。

使得f(0x)=M，那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值。

最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M;存在0x∈I,使得f(0x)=M，那么，我们称函数M是函数y=f(x)的最大
值。

（2）作出假设——最大利润问题
某工厂在一个月内生产某产品Q件时，总成本为C(Q)=5Q+200(万元)，得到的利益为R(Q)=10Q-0.012Q(万元)，问一个月内生产多少产品时，所获得的利润最大？
解答：这种问题如果只靠经营者自己的经验来得到的结果具有偶然性，而且结果容易不一致，可行度和准确度都比较小。

但是如果把问题和函数结合，利用函数的最值来解答，不
只问题会简便很多，答案也更有说服力，可操作性更高。

例如，本题由题设可知，利润为L (Q )=R (Q )-C (Q )=5Q -0.012Q -200(Q ∈N +
)，显然最大利润一定在（0，+∞）内取得。

令'L (Q )=5-0.02Q =0，得Q =250。

又由''L (Q )=-0.02≤0
即''L (250)≤0，所以L （250）=425(万元)为L 的一个极大值。

从而一个月生产250件产品时，可取得最大利润425万元。

2.2 从效用函数角度分析经济学中的风险问题
（1） 提出问题
20世纪以来，随着资本主义经济的不断繁荣，经济危机的爆发频率也在不断升高，让沉浸在资本主义经济幻想中的人们梦想破灭，甚至面对倾家荡产的风险。

人们逐渐认识到，经济中不只有高收益，与之伴随的更是高风险。

如何对待经济生活中的风险成为人们开始思考的一个问题，与此同时，如何看待人们对待风险的态度引起了经济学家的探究兴趣。

经济学中，根据市场参与者对待风险的态度将其分为：风险爱好者，风险厌恶者，风险中性。

并利用效用函数将其形象的表达出来。

效用函数表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间的数量关系的函数，它被用以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得的满足程度。

（2） 作出假设
如果市场参与者的初始财富为0W ，他不参与一个公平赌博（指不改变个体当前期望收益的赌局），财富与效用之间存在效用函数U ，则其用效用函数表示的效用值为
U (0W )，变化的财富的期望效用是以p 的概率获得的（0W +1h ）
，以（1-p ）的概率获得的（0W +2h ），比较市场参与者对二者之间的态度，可以判断市场参与者的风险态度。

以下为不同市场参与者对风险的不同态度：
风险厌恶——如果市场参与者不喜欢参与任何公平的赌博，即p U (0W +1h )+(1-p )U (0W +2h )≤U (0W )，则称投资者是风险厌恶型。

此时，其效用函数为凹函数，图象如图一所示
图1 风险厌恶者的效用函数图象
风险爱好——如果市场参与者喜欢参与所有公平赌博，即U(0W) p U(0W+1h)+(1-p)U(0W+2h)，则称市场参与者为风险爱好者，其效用函数为凸函数，图象如图二所示
图2 风险爱好者的效用函数图象
风险中性——如果市场参与者对是否参与公平赌博采取无所谓的态度，即U(0W)=p U(0W+1h)+(1-p)U(0W+2h)，则称市场参与者为风险中性，其效用函数为线性函数,图象如图三所示
图3 风险中性的效用函数图象
2.3 函数图象在经济学中的应用
(1) 提出问题
供给与需求一直是经济学家最常用的两个词汇，供需矛盾更是困扰国民已久的重要问题。

如何解决供需矛盾，是否真的存在供需均衡的状态，又如何达到这种堪称完美的状态？仅仅有数据的分析是难以直接又简单的解决这个问题的，引入函数图象，用图象来直观的表示出这种状态，使问题迎刃而解，更加丰富了经济学的理论，是经济学的研究更上一层楼。

(2) 作出假设
假如市场上存在一种咖啡——拿铁咖啡，在其他因素保持不变的情况下，消费者对拿铁咖啡的消费根据咖啡的定价而变化，咖啡供给者也会根据咖啡的价格来生产咖啡。

这就需要思考到底消费多少，供给多少才能使市场达到最优状态。

在不同的价格水平下，消费者消费
不同的拿铁咖啡数量，把拿铁咖啡的价格与消费数量的关系用图象表现出来就是拿铁咖啡消费者的需求曲线。

如图四所示：
图4 拿铁咖啡的需求曲线
同理，把拿铁咖啡的价格与供给数量的关系用图象表示出来就是拿铁咖啡供给者的供给曲线。

如图五所示：
图5 拿铁咖啡的供给曲线
那么，怎样才能得到均衡呢？把两个图结合起来，我们就能发现在供给曲线与需求曲线相交处，也就是供给数量与需求数量相等的地方就是我们追求的均衡状态。

如图六所示：
图6 拿铁咖啡的均衡状态
如此，不但省去了繁琐的计算，更是问题变得简单明了，直白易懂。

3 结束语
数学思想是经济学发展不可或缺的重要部分，经济学要想有所突破必须借助于数学思想。

而函数的引入是经济学摆脱了纯粹的计算与理论的误区。

如果说数学是经济学家进行经济研究的重要武器的话，那么函数就是这武器中最锋利的矛，不断帮助经济学家击破研究中的各个“堡垒”。

数学与经济学的联系不会斩断，而函数在经济学中的应用相信会是经济学更加完善。

参考文献
[1] 曼昆微观经济学，梁小民、梁砾译北京大学出版社
[2] 褚衍彪高等数学在经济分析中的运用枣庄学院学报，2007（10）。