一．古诺（Cournot ）模型Augustin Connot 是19世纪著名的法国经济学家。

法国经济学家在学术风格上属于欧洲大陆的唯理论传统，重视思辩，重视演绎，强调以数理方法对经济事实进行抽象，这与传统的英国学派重视经验事实，主张从事实中进行归纳的经验论风格是迥然不同的。

他在1838年发表的《对财富理论的数学原理的研究》中，给出了两个企业博弈均衡的经典式证明，直到今天仍具有生命力。

1． 市场结构古诺均衡设市场上只有两家企业，且生产完全相同的产品。

企业的决策变量是产量，且两家企业同时决定产量多少。

市场上的价格是两个企业产量之和的函数。

即需求函数是：)(21q q P P +=每个企业的利润为)()(21i i i q C q q q P -+=π2． 反应函数及反应线对于任一给定的关于企业2的产量，都会有相应的企业1的产量选择。

于是企业1的最佳产量说穿了是其对企业2产量的函数。

反之亦然。

即有：)(21q f q =)(12q f q =1q2q3．古诺均衡根据上述假设及利润最大化要求，满足)(21q f q = 且)(12q f q =的),(21q q 即为古诺均衡解。

古诺均衡已不仅仅是供求相等的均衡了。

这里的均衡除满足供求相等外，参与各方都达到了利润最大化。

该均衡也为纳什均衡。

4．举例例1：如市场需求为22211215.0,5),(5.0100q C q C q q P ==+-=，求古诺均衡解，并相应地求出21ππ与。

解：112115)](5.0100[q q q q -+-=π2222125.0)](5.0100[q q q q -+-=π利润最大化下，有： 055.01002111=---=∂∂q q q π 05.010021222=---=∂∂q q q q π 求之，得：900,32004530,802121=====ππP q q 二．Bertrand 模型大约在古诺给出古诺模型50年后，另一位法国经济学家Joseph Bertrand （1883年）在其一篇论文中讨论了两个寡头企业以定价作为决策变量的同时博弈。

1． 市场结构市场上只有两家厂商，生产的产品完全相同；企业的成本也完全相同，生产的边际成本=单位成本=c ，设固定成本为零。

市场需求为P Q d βα-=这里实际上是“价格战”博弈。

因为当我们只考察企业1的状况时，就不难看到有：即企业1的定价如高于企业2的定价，则会失去整个市场；如21P P ，便会得到整个⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=12211121112110,00),)((210),)((),(P P if P P if P c P P P if P c P P P βαβαπ市场；如21P P =，则平分市场。

此时寡头厂商定价不仅要考虑消费者反应，还需考虑竞争者反应。

2． Bertrand 均衡解Bertrand 均衡解是唯一的。

即两家企业的价格相同且等于边际成本，利润等于零（正常利润仍是有的）。

因为利润函数是非连续的，因此我们不能通过求导的办法来解一阶条件，只有通过常识推理来证明。

首先，如果两家企业进行价格竞争，因为低价的企业会拥有整个市场，而高价的企业会丧失整个市场。

所以，每个企业总有动力去降价，直到c P i =为止。

其次，在c P i =时，每个企业获得))((21i i P c P βα--的利润，即零利润。

它们可不可以通过改变价格去增加利润呢？不能。

因为若c P i ，当另一家企业c P j =时，i 会丧失整个市场。

Bertrand 均衡的含义在于：如果同业中的两家企业经营同样的产品，且成本一样，则价格战必定使每家企业按c P i =的原则来经营，即只获取正常利润。

但是如果两家企业的成本不同，则从长期看，成本低的企业必定挤走成本高的企业。

3． Bertrand 悖论及其三种解释现实中的情况并不象Bertrand 均衡预测的那样，只要市场上有两个或两个以上生产同样产品的企业，则没有一个企业可以控制市场价格获取垄断利润。

现实中企业不会降价到c P i =的水平上，往往仍有超额利润。

这被称为Bertrand 悖论或Bertrand 之谜。

三种解释：第一种是埃奇沃斯生产能力约束解释。

Edgeworth 在1897年发表的论文中指出，由于现实生活中企业的生产能力是有限制的，所以，只要一个企业的全部生产能力可供量不能满足全部社会需求，则另一个企业对于残差的社会需求就可以收取超过边际成本的价格。

第二种是博弈时序解释。

如果Bertrand 只是一个同时的价格博弈，则不应包括一家企业降价造成的消费反应这样一个带时序性的博弈过程。

如果真要分析价格博弈中的时序性，则马上会遇到一个问题。

当一家企业看到自己降价之后会引起另一家企业更低的定价竞争，这家企业还敢降价吗？于是现实生活与Bertrand 均衡之间的均衡不一致就可以得到解释：因为企业怕降价引发长期的价格战，所以两家企业很可能在c P P 21=的某一点达成协议，不降价了。

这就是所谓的“勾结”（collusion ）第三种是产品差异解释。

Bertrand 均衡假定企业间产品是同一的，完全可以相互替代。

但事实上，企业间在产品上是有差异的，即使出售同一产品，在服务上也可以大有差别，并且有些厂商又有地域上的优势，这样，如果企业1定价为c P =1，企业2如果在服务上或位置上有优势，定价为)0(2 εε+=c P ，也是非常正常的事。

这实际上已属于垄断竞争的范围。

三．斯塔克博格（Stacklberg ）模型（产量的领导-追随模型）这是由德国学者Stacklberg 在1934年的一篇论文中提出的分析范式。

斯塔克博格（Stacklberg ）模型是用来描述这样一个产业，在该产业中存在着一个支配企业，比如我国计算机行业中的联想集团，银行业中的招商银行、保险公司中的平安保险，除它以外，该行业中还有几个小企业。

这些小企业经常是先等待支配企业宣布其产量计划，然后相应地调整自己的产量。

形成领导—追随关系。

对于产量决策的序列博弈模型，得采取逆向归纳法的思路。

先分析追随型企业的反应函数；然后把这个反应函数纳入领导型企业的决策过程，进而导出领导型企业的产量决策。

1． 追随者的问题假定领导者（企业1）宣布了自己的产量决策1q ，对于追随者来说，1q 就是一给定的量，这样，追随者（企业2）的问题便是：{})()(22221max 2q c q q qP q -+求其一阶条件，可以解出追随者的反应函数)(122q f q =2． 领导者的问题一旦领导者知道他给出了1q 会导致)(122q f q =，他就会给出一个对自己利润化目标有利的1q 去影响追随者的反应函数)(122q f q =，从而使自己的利润最大。

于是，领导者的问题变为：{})()(11121max 1q c q q qP q -+s ．t ． )(122q f q =把)(122q f q =代入领导者的利润函数，则领导者的问题就成为{})()]([111121max 1q c q q f qP q -+例2：如市场需求为22211215.0,5),(5.0100q C q C q q P ==+-=，求Stacklberg 均衡解，并相应地求出21ππ与。

解：（1）追随者的利润函数为：222212125.0)](5.0100[),(q q q q q q -+-=π令其对2q 的一阶条件为0，得05.010021222=---=∂∂q q q q π 于是追随者的反应函数为：25.010012q q -= （2）领导者把追随者的反应函数纳入自己的利润函数，则企业1的利润函数便为： 1111115)]25.0100(5.0100[)(q q q q q --+-=π 075.070111=-=∂∂q q π 所以 91711,3232663226,31932121====ππq q 3． 先行者的优势不难看出，与古诺均衡解（80，30）相比，总产量不同，产量在两个企业间的分割也是不同的。

领导者企业1比在古诺均衡中的产量增加3113803193=-，利润增加32663200323266=-这便是先行一步给领导者带来的优势。

四．价格领导模型价格竞争的序列博弈仍遵循逆向归纳法的分析思路。

1． 追随者的行为与残差需求当领导者给定产品价格P ，追随者在均衡时必须接受领导者给定的价格。

因为如果追随者的喊价低于P ，那么整个市场转向跟随者，这样一来，追随者就不成其为“追随者”了。

如果追随者的喊价高于领导者的定价，则追随者会丧失整个市场。

因此，均衡时，追随者必须接受领导者的定价。

追随者的行为只能是选择一个产量水平，使其利润极大化。

这实质上是决定追随者（企业2）的供给线)(2P S 。

此时，市场需求留给领导型企业（企业1）的残差需求便为：)()()(2P S P D P R -=2． 领导者的最优价格选择领导者知道一旦给出P ，自己面临的需求只为残差需求。

所以，它的问题是从残差需求出发，按边际成本=边际收益的原则来决定产出1q ，最后解出相应的价格水平P 。

据上，具体步骤是：第一，按P MC =2的原则确定)(2P S ；第二，按)()()(2P S P D P R -=的原则求出领导者面临的残差需求线；第三，从残差需求线出发，按11MC MR =的原则来确定领导者的均衡产量1q ；第四，按第三步解得的1q ，定出领导者的价格水平P 。

例3．假定市场需求为bP a P D -=)(，追随者的成本为2)(2222q q C =，领导者的成本函数为111)(cq q C =，求价格竞争序列博弈时的领导者均衡价格与均衡产量。

解：（1）先求追随者的供给函数在追随者接受P 价格并利润最大时，有P MC =2。

即P q =2，也即P q P S ==22)(。

（2）再求出领导者所面临的残差需求12)1()()()(q P b a P bP a P S P D P R =+-=--=-=解之，得： 11+-=b q a P （3）领导者利润于是为：111111)(cq q b q a q -+-=π012111=-+-=∂∂c b q a q π 所以，2)1(1+-=b c a q ， （4）将此代入价格方程，得2)1(2c b a P ++= 五．串通与价格卡特尔串通属于合作博弈。

其特点是参加博弈的各方在决策过程中联合起来，先追求共同利益的极大化，然后再分配这个已经极大化了的共同利益。

1． 串通条件下的产量与价格决定串通条件下，问题就成为：{})()())((22112121,max 21q c q c q q q qP q q --++令其分别对1q ，2q 的一阶导数为0，即可求出1q ，2q ，代入需求函数，可得P 。