§2.9函数的应用2014 高考会这样考 1.综合考查函数的性质； 2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题； 3.考查函数的最值．复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域； 2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型； 3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型一次函数模型反比例函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型(2)三种函数模型的性质函数y＝ a x(a>1)性质在 (0，＋∞ )上的单调递增增减性增长速度越来越快随 x 的增大逐渐表现为图像的变化与 y 轴平行值的比较存在一个函数解析式f(x)＝ ax＋ b (a、 b 为常数， a≠ 0)f(x)＝kx＋ b (k， b 为常数且 k≠ 0)f(x)＝ ax2＋ bx＋c(a， b， c 为常数， a≠0)f(x)＝ ba x＋ c(a，b， c 为常数， b≠ 0， a>0 且 a≠ 1)f(x)＝ blog a x＋ c(a，b， c 为常数， b≠ 0， a>0 且 a≠ 1)ny＝ log a x(a>1)y＝ x n( n>0)单调递增单调递增越来越慢相对平稳随 x 的增大逐渐表现为随 n 值变化而与 x 轴平行各有不同n xx0，当 x>x0时，有 log a x<x <a2.解函数应用问题的步骤(四步八字 )(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3) 解模：求解数学模型，得出数学结论；(4) 还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：[难点正本疑点清源 ]1． 要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2． 解决函数应用问题重点解决以下问题(1) 阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2) 建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3) 求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大 (小 )值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用；(4) 回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．1． 某物体一天中的温度 T(单位：℃ )是时间 t(单位： h)的函数： T(t)＝ t 3 －3t ＋60， t ＝ 0 表示中午12∶ 00，其后 t 取正值，则下午 3 时的温度为 ________．答案78℃解析T(3)＝ 33－ 3× 3＋ 60＝ 78(℃ )．2． 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品， 成本增加 10 万元．又知总收入 K 是单位产品数Q 的函数， K (Q) ＝ 40Q － 201Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________ 万元．答案2 500解析L(Q)＝ 40Q － 201Q 2－ 10Q － 2 000＝－ 201Q 2＋30Q － 2 000＝－ 201(Q －300)2＋ 2 500当 Q ＝300 时， L(Q)的最大值为 2 500 万元．3． (2011 湖·北 )放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变． 假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中， 其含量 M(单位：太贝克 )与时间 t(单位： 年 )满足函数关系： M(t)＝ M 02－ t，其中 M 0 为 t ＝ 0 时铯 137 的含量． 已30知 t ＝30 时，铯 137 含量的变化率 是－ 10ln 2( 太贝克 /年 )，则 M(60)等于 ( )．．．A ．5 太贝克B ． 75ln 2 太贝克C ． 150ln 2 太贝克D ． 150 太贝克答案D解析∵ M ′(t)＝－ 1t30M 02－ 30·ln 2 ，∴ M ′ (30)＝－ 1 ×1M 0ln 2 ＝－ 10ln 2 ， ∴ M 0＝600. 30 2∴ M( t)＝ 600× 2－ 30t， ∴M (60)＝600× 2－2＝ 150( 太贝克 )．4． 某企业第三年的产量比第一年的产量增长下结论正确的是A ． x>22%B ． x<22%C ． x ＝ 22%D ． x 的大小由第一年的产量确定答案B44%，若每年的平均增长率相同(设为(x)，则以)解析设第一年的产量为a ，则 a(1＋ x)2＝ a(1＋ 44%) ，∴ x ＝ 20%.5． 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费 y 2 与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y 1，y 2 分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ()A ．5 千米处B ．4 千米处C ． 3 千米处D ． 2 千米处答案 A解析由题意得， y 1＝k 1，y 2＝ k 2x ，其中 x>0，当 x ＝ 10 时，代入两项费用y 1，y 2 分别是x2 万元和 8 万元，可得 k 14 20 4 20 420 4 x ，＝20，k 2 ＝ ，y 1＋y 2＝x＋ x ≥ 2·x ＝ 8，当且仅当 x＝55x 55即 x ＝ 5 时取等号，故选A.题型一 二次函数模型例 1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元 )与年产量x(吨 )之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝ x 2－ 48x ＋ 8 000，已知此生产线年产量最大5为 210 吨．(1) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2) 若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思维启迪： (1) 根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值．解 (1)每吨平均成本为 y(万元 ) ． xyx 8 000 x 8 000 则 x ＝ 5＋ x － 48≥ 2 5·x － 48＝ 32，x 8 000当且仅当 5＝x，即 x ＝ 200 时取等号．∴ 年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为32 万元．(2) 设可获得总利润为 R(x)万元，2则 R(x)＝ 40x － y ＝40x － x5 ＋ 48x －8 0002＝－ x＋ 88x － 8 000 512＋1 680 (0 ≤ x ≤ 210)＝－ 5(x － 220) ．∵R(x)在 [0,210] 上是增函数，∴x＝ 210 时，12R(x)有最大值为－(210－ 220) ＋ 1 680＝ 1 660.∴年产量为210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．探究提高二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．某产品的总成本y( 万元 )与产量x(台 )之间的函数关系是y＝ 32 000＋ 20x－ 0.1x(0< x<240 ， x∈N* )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本 )的最低产量是()A ．100 台B．120 台C． 150台D． 180 台答案C解析设利润为 f(x)万元，则f(x)＝ 25x－ (3 000＋ 20x－ 0.1x2)＝0.1x2＋ 5x－ 3 000 (0< x<240， x∈N* )．令 f(x)≥ 0，得 x≥ 150，∴ 生产者不亏本时的最低产量是150 台．题型二指数函数模型例 2诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成 6 份，奖励给分别在 6 项 (物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝ 6.24%. 资料显示： 1999 年诺贝尔奖金发放后基金总额约为 19 800 万美元．设 f(x)表示第 x(x∈N* )年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为f(1)， 2000 年记为 f(2)，，依次类推 )．(1)用 f(1) 表示 f(2)与 f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x) 的表达式；(2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达150 万美元”是否为真，并说明理由．( 参考数据： 1.031 2 9＝ 1.32)思维启迪：从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．解1(1)由题意知， f(2)＝ f(1)(1 ＋6.24%) － f(1) 6·.24%＝ f(1)(1＋ 3.12%) ，21f(3)＝ f(2)(1 ＋ 6.24%)－2f(2) 6·.24%＝ f(2)(1＋ 3.12%) ＝ f(1)(1 ＋3.12%) 2， ∴f(x)＝ 19 800(1＋ 3.12%) x －1 (x ∈N * )．(2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝ 19 800(1＋ 3.12%)9＝ 26 136，1 1 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10) 6·.24%≈ 136(万美元 )，与 150 万美元相比少了6 2约 14 万美元，是假新闻．探究提高此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝ N(1＋ p)x (其中 N是基础数， p 为增长率， x 为时间 )和幂函数模型y ＝ a(1＋ x)n ( 其中 a 为基础数， x 为增长率， n 为时间 )的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应 求解．已知某物体的温度 θ(单位：摄氏度 )随时间 t(单位：分钟 )的变化规律： θ＝ m ·2t ＋2 1 － t(t ≥ 0，并且 m>0) ．(1) 如果 m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 摄氏度；(2) 若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围．解 (1)若 m ＝ 2，则 θ＝ 2·2t ＋ 21－t＝ 2 2t＋21t ，t1 5t1 5当 θ＝ 5 时， 2 ＋ 2t ＝ 2，令 2 ＝ x ≥ 1，则 x ＋ x ＝2，即 2x 2－ 5x ＋ 2＝0，解得 x ＝ 2 或 x ＝12(舍去 )，此时 t ＝ 1.所以经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度．(2) 物体的温度总不低于2 摄氏度，即 θ≥ 2 恒成立，t211 恒成立． 亦 m ·2＋2 ≥ 2 恒成立，亦即 m ≥2 2 －2tt2t12令 2t ＝ x ，则 0< x ≤ 1，∴ m ≥2(x － x )，2 1 1 由于 x － x ≤ 4，∴ m ≥ 2.因此，当物体的温度总不低于2 摄氏度时， m 的取值范围是1，＋∞ .2题型三 分段函数模型例 3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y( 元 ) 与 月 处 理 量 x( 吨 ) 之 间 的 函 数 关 系 可 近 似 地 表 示 为 y ＝1 32x － 80x ＋5 040x ， x ∈[120 ， 144 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产1 2x －200x ＋ 80 000， x ∈ [144， 500] ，品价值为 200 元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1) 当 x ∈ [200,300] 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2) 该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？思维启迪： 题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系．解(1)当 x ∈ [200,300] 时，设该项目获利为S ，则 S ＝ 200x －12x 2－ 200x ＋80 0001212＝－ 2x ＋ 400x －80 000＝－ 2(x － 400) ，所以当 x ∈[200,300] 时， S<0，因此该单位不会获利．当 x ＝ 300 时， S 取得最大值－ 5 000，所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损．(2) 由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为12－ 80x ＋ 5 040， x ∈ [120 ， 144 .y3xx ＝180 000－ 200， x ∈ [144， 500].2x ＋xy 1 2① 当 x ∈ [120,144) 时， x ＝ 3x － 80x ＋ 5 040＝13(x － 120)2＋ 240，y所以当 x ＝120 时， x 取得最小值240.② 当 x ∈ [144,500] 时，y 1 80 000 1 80 000x ＝2x ＋ x － 200≥ 2 2x ×x － 200 ＝ 200，1 80 000y当且仅当 2x ＝x，即 x ＝ 400 时， x 取得最小值 200.因为 200<240，所以当每月的处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．探究提高本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．(2011 ·京北 )根据统计， 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位：分钟 ) 为 f(x)c， x<A ，x＝(A ，c 为常数 )．已知工人组装第4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件c， x ≥ AA产品用时 15 分钟，那么c 和A 的值分别是()A ． 75,25B ． 75,16C ． 60,25D ． 60,16答案D解析由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为c ＝ 15，故组装第A4 件产品所需时间为c＝30，解得c ＝ 60，将c ＝ 60 代入c＝ 15，得A ＝ 16.4A函数建模问题典例： (12 分 )在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务 )致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8 万元的优惠价格转让给了尚有5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600 元后，逐步偿还转让费 (不计息 )．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14 元；②该店月销量 Q(百件 )与销售价格 P(元 )的关系如图所示；③每月需各种开支2 000 元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角(1) 认真阅读题干内容，理清数量关系． (2) 分析图形提供的信息， 从图形可看出函数是分段的． (3)建立函数模型，确定解决模型的方法．规范解答解设该店月利润余额为 L ，则由题设得 L ＝ Q(P － 14)× 100－ 3 600－ 2 000，①－ 2P ＋ 5014≤ P ≤ 20 ，由销量图易得 Q ＝3[2 分]－ 2P ＋ 40 20<P ≤ 26 ，代入 ①式得－ 2P ＋ 50 P － 14 × 100－ 5 60014≤ P ≤ 20 ，L ＝[4 分]－ 3P ＋ 40P －14 × 100－ 5 60020<P ≤ 26 ，2(1) 当 14≤ P ≤20 时， L max ＝ 450 元，此时 P ＝19.5 元；1 250 61 当 20<P ≤ 26 时， L max ＝ 3 元，此时 P ＝ 3元．故当 P ＝19.5 元时，月利润余额最大，为450 元． [8 分](2) 设可在 n 年后脱贫，依题意有 12n × 450－ 50 000－ 58 000≥ 0，解得 n ≥ 20.即最早可望在 20 年后脱贫． [12 分 ]解函数应用题的一般程序：第一步：审题 —— 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模 —— 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模 —— 求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原 —— 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．第五步：反思回顾 —— 对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．温馨提醒(1) 本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q 与 P 的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．(3) 在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．失误与防范1．函数模型应用不当是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.A 组专项基础训练(时间： 35 分钟，满分：57 分 )一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )1.有一批材料可以围成 200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图 ) ，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为()A ．22 1 000 m B ．2 000 mC． 2 500 m2D． 3 000 m 2答案C解析设围成的场地宽为 x m ，面积为 y m 2，1则 y ＝ 3x(200－4x)×3＝－ 4x 2＋ 200x (0<x<50)．当 x ＝ 25 时， y max ＝ 25×100＝ 2 500. ∴ 围成的矩形场地的最大面积为2 500 m 2.2． (2011 湖·北改编 )里氏震级 M 的计算公式： M ＝ lg A － lg A 0 ，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， A 0 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为 ________级； 9 级地 震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 ________倍． ()A ． 6 1 000B ． 4 1 000C ． 6 10 000D ． 4 10 000答案 C解析 由 M ＝lg A － lg A 0 知，M ＝ lg 1 000 － lg 0.001 ＝3－ (－ 3)＝ 6，∴ 此次地震的震级为6 级．设 9 级地震的最大振幅为A 1,5 级地震的最大振幅为 A 2，则 lgA 1＝ lg A 1－ lg A 2＝ (lg A 1－A 2lg A 0 )－ (lg A 2－ lg A 0)＝ 9－5＝ 4.∴A 1＝ 104＝ 10 000，∴ 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最A 2大振幅的 10 000 倍．3． 将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝ae nt ，假设 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a升，则 m 的值8为()A ． 8B ．10C ． 12D ． 15答案B解析由已知条件可得ae 5n ＝ a 2， e 5n ＝ 12.由 ae nt＝a8，得 ent＝ 18，所以 t ＝ 15， m ＝ 15－ 5＝ 10.4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位： 10 万元 )与营运年数 x(x ∈N * )为二次函数关系 (如右图所示 )，则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大() A ． 3 B ．4C． 5D． 6答案C解析由题图可得营运总利润y＝－ (x－ 6)2＋ 11，则营运的年平均利润yx＝－ x－25x＋ 12，*y25∵ x∈N，∴≤－2x·＋12＝ 2，x x25当且仅当x＝x，即 x＝ 5 时取“＝”．∴ x＝ 5 时营运的平均利润最大．二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分)5．某种病毒经 30分钟繁殖为原来的 2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ e kt(其中 k 为常数， t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数 )，则 k＝ ________，经过 5 小时， 1 个病毒能繁殖为 ________个．答案2ln 2 1 024解析当 t＝ 0.5 时， y＝ 2，∴ 2＝ e 1k，∴ k＝ 2ln 2 ，2∴y＝ e2tln 2，当 t＝ 5 时，∴ y＝ e10ln 2＝ 210＝ 1 024.6．某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为 3 km( 不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案9解析设出租车行驶x km 时，付费y 元，9， 0<x≤3则 y＝ 8＋ 2.15 x－ 3 ＋ 1，3<x≤ 88＋ 2.15× 5＋ 2.85 x－ 8 ＋ 1， x>8由 y＝ 22.6，解得 x＝9.7． 2008 年我国人口总数为14 亿，如果人口的自然年增长率控制在 1.25%，则 ________年我国人口将超过20 亿． (lg 2 ≈ 0.301 0， lg 3 ≈ 0.477 1， lg 7≈ 0.845 1)答案2037解析由已知条件： 14(1＋ 1.25%)x －2 008>20，lg 101－ lg 77x － 2 008> ＝ ＝ 28.7，lg 81 4lg 3－ 3lg 2 － 180 则 x>2 036.7，即 x ＝ 2 037.三、解答题 (共 22 分 )8． (10 分 )某种出口产品的关税税率为 t ，市场价格 x(单位：千元 )与市场供应量 p(单位：万件 )之间近似满足关系式： p ＝ 2(1－ kt)(x － b)2，其中 k ， b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为 5 千元，则市场供应量为 1 万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约为 2 万件．(1) 试确定 k ， b 的值；－ x(2) 市场需求量 q(单位：万件 )与市场价格 x 近似满足关系式： q ＝ 2 ，当 p ＝ q 时，市场 价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4 千元时，试确定关税税率的最大值．解 (1)由已知1＝ 2 1－ 0.75k 5－ b2，2＝2 1－ 0.75k 7－ b21－ 0.75k 5－ b 2＝ 0?.1－ 0.75k 7－ b 2＝ 1解得 b ＝ 5， k ＝ 1.(2) 当 p ＝q 时， 2(1－ t)(x － 5)2＝ 2－x ，∴ (1－ t)(x － 5)2＝－ x? t ＝ 1＋ x2＝1＋1x － 525x ＋ x － 1025而 f(x)＝ x ＋ x 在 (0,4] 上单调递减，∴ 当 x ＝ 4 时， f(x)有最小值41，4故当 x ＝ 4 时，关税税率的最大值为500%.9．(12 分 )如图所示， 在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝ a ，BC ＝ b (a>b)．在AB 、 AD 、 CD 、 CB 上分别截取 AE 、AH 、CG 、 CF 都等于 x ，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求出这个最大面积．解 设四边形 EFGH 的面积为 S ，由题意得 S△AEH＝ S△CFG12，＝ x21S△BEF＝S△DHG＝2(a－ x) ·(b－x)．1 21由此得S＝ab－ 2 2x ＋2 a－ x b－ x＝－ 2x2＋ (a＋ b)x＝－ 2a＋ b 2 a＋ b 2＋.x－48函数的定义域为 { x|0<x≤ b} ，a＋ b 因为 a>b>0，所以 0<b< 2 .a＋ b≤ b，即 a≤ 3b， x＝a＋b时面积 S a＋ b 2若44取得最大值8；a＋ b a＋ b 2a＋b 2若4>b，即 a>3b 时，函数 S＝－ 2 x－4＋8在(0 ，b] 上是增函数，因此，当x＝ b 时，面积 S 取得最大值 ab－ b2.a＋ b a＋ b 2综上可知，若 a≤ 3b，当 x＝4时，四边形 EFGH 的面积取得最大值8；若 a>3b，当 x＝ b 时，四边形 EFGH 的面积取得最大值2 ab－ b .B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20分 )1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元 )分别为 L 1＝ 5.06x－ 0.15x2和 L 2＝ 2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )．若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获得最大利润为()A ． 45.606 万元B． 45.6 万元C． 45.56 万元 D ． 45.51 万元答案B解析依题意可设甲销售 x 辆，则乙销售 (15－ x)辆，总利润 S＝ L1＋ L 2，则总利润 S＝ 5.06x －0.15x2＋ 2(15 － x)＝－ 0.15x2＋ 3.06x＋ 30＝－ 0.15(x－ 10.2) 2＋0.15× 10.2 2＋30 (x≥ 0)．∴当 x＝ 10 时， S max＝ 45.6(万元 ) ．2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分 )备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、 y 应为 ()A ． x＝15， y＝ 12B ． x＝ 12， y＝ 15C． x＝ 14， y＝ 10 D ． x＝ 10， y＝ 14答案A解析由三角形相似得24－ y x5＝20，得 x＝4(24－ y)，24－ 852∴ S＝ xy＝－4(y－ 12)＋180，∴当 y＝ 12 时， S 有最大值，此时x＝ 15.3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是()答案A解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在 s 与 t 的函数图像上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )4. 如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出 2 cm 的边，下、左、右方都空出 1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为 ____________ ．答案30 cm、20 cm解析设长为 a cm，宽为 b cm，则 ab＝ 600，则中间文字部分的面积S＝ (a－ 2－ 1)(b－ 2)＝606－ (2a＋3b)≤ 606－ 2 6× 600＝ 486，当且仅当2a＝ 3b，即 a＝ 30， b＝ 20 时， S 最大＝ 486.5．某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25%. 他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为______________．答案y＝ax (x∈N* ) 4解析设新价为 b，依题意，有 b(1－ 20%) － a(1－ 25%) ＝ b(1－ 20%)·25%，化简得 b＝55a*4a.∴ y＝ b·20%·x＝4a·20%·x，即 y＝4x (x∈N )．6．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有 N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时， 40 分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15 分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．答案4解析设要同时开放 x 个窗口才能满足要求，N＋ 40M＝ 40K ，①则N＋ 15M＝ 15K × 2，②N＋ 8M≤ 8Kx. ③K＝2.5M，由①② ，得N＝ 60M，代入③，得 60M＋ 8M≤ 8× 2.5Mx ，解得 x≥ 3.4.故至少同时开放 4 个窗口才能满足要求．三、解答题7． (13 分 )(2011 湖·北 ) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米 / 时)是车流密度x(单位：辆 / 千米 )的函数．当桥上的车流密度达到200 辆 / 千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 / 千米时，车流速度为60 千米 / 时．研究表明：当20≤ x≤ 200 时，车流速度v 是车流密度 x 的一次函数．(1)当 0≤x≤ 200 时，求函数 v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时 )f(x)＝ x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到 1 辆 / 时 )解 (1)由题意，当 0≤ x≤20 时， v(x)＝ 60；当 20≤ x≤200 时，设 v(x)＝ ax＋ b，1200a＋b＝ 0，a＝－3，再由已知得解得20020a＋ b＝ 60，b＝3 .故函数 v(x)的表达式为60，0≤x≤ 20，v(x)＝13 200－ x ， 20<x≤ 200.(2)依题意并由 (1) 可得60x，0≤ x≤20，f(x)＝13x 200－ x ，20<x≤ 200.当 0≤ x≤ 20 时， f(x)为增函数，故当 x＝ 20 时，其最大值为60× 20＝ 1 200；1当 20<x≤ 200 时， f(x)＝3x(200－ x)≤1 x＋ 200－ x 2＝ 10 000，323当且仅当 x＝ 200－ x，即 x＝ 100 时，等号成立．所以当 x＝100 时， f(x)在区间 (20,200] 上取得最大值10 000.3综上，当 x＝ 100时， f(x)在区间 [0,200] 上取得最大值10 000≈ 3 333，3即当车流密度为100 辆 / 千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆 /时．。