内的点， 为底面圆圆心，
，垂足为 ，
，垂足为 ，且
，
1
为 的中点，则当三棱锥 答案： .
的体积最大时， 的长为______.
5.已知复数 的模为 ，则
的最小值为_____________.
答案：
解：在复平面内，设
、
， 为单位圆上的点，问题转化为求
的
最小值，设
，其中
由于
，必存在 使
，即等号可以取到.
6.在
中，
，则
.
答案： 解析：因为 所以 注意到： 故
.
二、解答题：本大题共 4小题，第 7、8题各 16分，第 9、10题各 20分，共 72分，解答 应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
7.（满分 16分）设
是正整数 的各位数字的乘积，求方程
的
正整数解.
解：设 是 位正整数，若，则源自,矛 盾 .此 时 无
2
解. 若
，则
...... 4分 ，此方程无整数解. ......8分
若
，且
，则
，
......12分
设
，
综上，方程的解为
8．(满分 16分)设
. ......16分
，解得
，
,
.证明：
矛盾 .
证明：由递推式得
. 从而得
所以 . ......4分
又
得数列 单调递增,所以
.
特别地
.
......8分
由递推式可得
对于（1），有 种情况；对于（2），有 种情况；对于（3）；有 种情况；故所求概率为
3.设
，
答案：
，
，点 是线段 上的一个动点，
，则实数 的取值范围是_______________.
，若
解析： ，
，则
， ，解得：
，因点 是线段 上的一个动点，所以
，综上，满足条件的
的取值范围是
.
4.顶点为 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 是底面圆周上的点， 是底面圆
.
........15分
. 上能取到最大值 .因此
的最大值为
5
， ,
,
. ......5分 .
. ........10分 .
.
......15分
因为
所以
.
......20分
10． (满分 20分)设函数
( )满足
求当
时
的最大值.
4
解：由题意知
，解得
从而当
时,
因为
时
.
......5分
，从而
.
.....10分
易知当
时
当
时
得
最后取
,则
故该函数满足题设条件且在
.
......20分
2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题:本大题共 6小题，每小题 8分，共 48分，把答案填在横线上.
1.设集合
与
恰有一个公共元素为 ， 则实
数
.
答案：
解析：因为
所以公共元素为
，解得
。
2.从正九边形中任取三个顶点构成三角形， 则正九边形的中心在三角形内的概率
为
.
答案：
解析：如图，正 边形中包含中心的三角形有以下三种形状：
.从而
. ......12分
由均值不等式及已证结论有
.
所以 特别地 故
.
......16分
3
9．(满分 20分)设椭圆 的左、右顶点为
,过右焦点
作非水平直线 与椭
圆 交于
两点,记直线
的斜率分别为
,试证: 为定值,并求此定值
(用 的函数表示).
证明：设
，代入椭圆方程
得
，
设
,则
两式相除得 由题意知 从而