极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01
lim
=∞→n
n 证：要使ε<-01n
，只须ε
1
>n ，故
0>∀ε，11
+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀，有ε<-01
n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限
例、证明：0!
lim =∞→n a n
n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ∃∴正整数k ，使得k a ≤
()ε<⋅≤+⋅==-n a k a n k a a k a n a n a k
k
n
n
!1!!0! ，ε
!1
k a n k +> 1!,01+⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡=∃>∀∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0!
n a n
3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()()
n
n n n 264212531lim ⋅⋅-⋅⋅∞
→ 解：
()()()()n n n n n 212264212753264212531⋅-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅ ()()()()n
n n n n n 41
125312642211253264⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅>
∴ ()()n n n 41
2642125312
>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅
两边开n 2次方： ()()121
21412642125311222→⋅=>⋅⋅-⋅⋅>n n n n
n
n n n
由两边夹：()()
1264212531lim =⋅⋅-⋅⋅∞
→n
n n n
4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问
题
例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p
p
n l S →()∞→n
证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n
再记n n l S α+=()n n
l l
l βα+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p
p
n l S β+=1。

若取定自然数p K >，则当1<n β时 ()()()K
n p n K
n βββ+≤+≤-111
()()()K
n p
p
n p n p
K
n p
l S l l βββ+≤=+≤-111
由两边夹得证。

5、 通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易
求极限
例、求极限()
1sin lim
2+∞
→n n π 解：()
1sin lim 2+∞→n n π=()
πππn n n n -++∞
→1sin lim 2 =()()
ππn n n
n -+-∞
→1sin 1lim
2
=()01sin 1lim 2
2
=++-∞
→π
ππn n n
n
6、 换变量后利用复合函数求极限法则求极限 例、求极限()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→，其中K 是自然数
解：令 ()111-+=K
x y
当1<x 时，有 ()x x x K
+≤+≤-1111，所以00→⇒→y x 利用复合函数求极限法则可得 ()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→()()K
y y K K Ky y
y y
K y K y 112
1
lim
1
1lim
20
=
++-+
=-+=→→ 7、 进行恒等变形化成已知极限进行计算
例、2122sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim
2
02
2020=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限 例、求极限2
cos
1cos 1lim
0x x
x --→
解：x cos 1-～221x ，2cos 1x -～2
221⎪⎭⎫
⎝⎛⋅x ()0→x
2cos 1cos 1lim
0x x
x --→422121lim 2
2
0=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅=→x x
x 9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限 例、2
11n n n x x x +=
+， ,2,1=n ，01>=a x 证明：n n x ∞
→lim 存在，并求此极限。

证明：0>n x 211n n n x x x +=
+22
12=⋅≥n
n x x 022212
1≤-=-+=-+n
n n n n n n x x x x
x x x ，n
n x x ≤+1
且 2≥n x ，∴n n x ∞
→lim 存在
令 =l n n x ∞
→lim ，有 2
1l l l +=，22=l ，2=l
10、利用海涅定理解决极限问题
例、试证明函数()x
x f 1sin =当0→x 时极限不存在 证：取02
21→+
=
π
πn x n ，021
→=
π
n y n ()∞→n 而 ()1=n x f ，()0=n y f ，得证 11、把求极限问题化为导数问题计算 例、求极限()
x x K
x 1
1lim
10-+→，其中K 是自然数
解：()x
x K
x 1
1lim
10
-+→1'1
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x K K 1= 12、利用洛必达法则求极限
例、()π
π
--→x x tgx 202
lim 解：令=A ()π
π
--→x x tgx 202
lim ln ln =A ()ππ--→x x tgx 202
lim ()π
π
--→=x x tgx 20
2
ln lim ()tgx x x ln 2lim 02
ππ-=-→()
1
2
2ln lim --→-=ππ
x tgx
x ()tgx
x x x 2
20
2
22sec lim
--→--=ππ
()21cos sin 221lim 2
02-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→x x x x ππ02sin 24lim 2
02=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x πππ 所以()1lim 0202
===--→e A tgx x x π
π
13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算
例、设n
n n S n 21
2111+
++++=
，求n n S ∞→lim 解：n n n S n 21
2111+++++= n
i n n i +⋅=∑=1111，n n S ∞→lim 2ln 1110=+=⎰dx x
14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题
例、求⎰+∞→1
01lim
dx x
x n
n 解：由第一积分中值定理
⎰
⎰+=
+1
1
011
1dx x dx x x n n
n ξ1
1
11+⋅+=
n n ξ，()10≤≤n ξ 所以⎰+∞→1
01lim
dx x
x n
n 0= 15、利用收敛级数的必要条件求极限
例、求!
lim n x n
n ∞→ 解：已知指数函数的幂级数展开式∑∞
==0!
n n
x
n x e 对于一切R x ∈收敛
而收敛级数的一般项趋于0，故得!
lim n x n
n ∞→0= 16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限
例、⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-∞
→x x x x 11ln lim 2
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 11ln 2
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=22
2101211x x x x x 2
2112
1x x o ⎪⎭⎫
⎝⎛-=
原式2
1
=
17、利用柯西收敛准则处理极限问题
例、用Cauchy 收敛准则证明111
13521
n x n =++++-无极限. 证: 取010,05
N ε=>∀>,任取,n N p n >=,有
211
11
.2123
414144
n p n n n n n x x x x n n n n n ε+-=-=
+++
≥>=>++-- 故由Cauchy 收敛准则知,{}n x 为发散数列.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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