较复杂的问题转化为容易解决的问 题，从而作出最短路径的选择。
•问题2 归纳
•抽象为数学问题
•解决实 •际问题
•联想旧知
•A
•用旧知解决新知
•C
•l
•B
•小结归纳
•B
•A
•C
•l
•B′
•转化
•轴对称 •变换
•A
•C
•l
•B
•两点之间，线段最短.
•平移 •变换
•尝试应用：
•1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修
•A'
•M
•N
•M′ •a •b
•N′
•B
•∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， • AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
•在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，
•∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
•总结归纳 ： • 在解决最短路径问题时，我们 通常利用轴对称、平移等变换，把
•B
•A
•l
•C
•B
•两点之间，线段最短.
•分析：
•B
•A
•A
•C
•l
•l
•C
•B
•（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
•（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢 ？
• •（3）利用什么知识可以实现转化目标？
•如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . •当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
• 如图假定任选位置造桥MN， •A 连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么折线AMNB在什 么情况下最短呢？
• 由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
•M •a •b
•N •B
•分析：
•A
•A'
•M •a
•A
•C
•l
•b
•N
•B
•B
• 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′， 使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当 点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
•∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
•在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
•B′
•∴AC+BC < AC′+B′C′，
•即AC+BC最小．
•方法总结：
• 在解决最短路径问题时，我们通常利用 轴对称变换，把复杂问题转化为容易解 决的问题，从而作出最短路径的选择．
•问题1 归纳
•A
•B
•抽象为数学问题 •A
•C
•D •河
•A
•B
•4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上 两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周 长最小。
•P
•M ’
•本节课你有什么收获？
•①学习了利用轴对称解决最短路径问题 •②感悟和体会转化的思想
•补偿提 高
• 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
•脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图
中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（•D ）
•Q •P
•Q •P
•M •A •P
•l •Q
•M
•l
•C
•B
•M •Q
•l
•P
•M
•l
•D
•2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 •1000米.
•B •A
•l
•C
•B′
• 在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此， 线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
•证明：如图.
•在直线 l 上任取另一点C′ ，
•B
•连接AC′ •∵直线 l
是、点BCB′、、BB′′的C对′ ．称轴•，A
•l
• 点C、C′在对称轴上，
•C′ •C
•∴BC=B′C，BC′=B′C′．
•C •山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
•B •A
•l
• 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 •知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 •问题”．
•你能将这个问题抽象为数学问题吗？
•分析：
•B •B
•A
•A
•l
•C •C
•l
•转化为数学问题 •当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
•联想：
• 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， •如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B •的距离的和最短？
最短路径问题课件
•新 课 引 入
•
•
• 我们把研究关于“两点之间， 线段最短” “垂线段最短”等问题
，称它们为最短路径问题.最短路径
问题在现实生活中
何运用所学知识选择最短路径.
•第十三章 轴对称
•13.4课题学习 •最短路径问题
• 问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 •海伦，请教一个百思不得其解的问题： • 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 处 让马饮水，然后到B地．牧马人到河边的什么地方让马 饮水，可使所走的路径最短？
•B
•l
•C
•l
•解决实 •际问题
•联想旧知
•B
•A
•A •C
•l
•用旧知解决新知
•C
•l
•B′
•B
•问题2
• （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
•思考： •你能把这个问题转化 •为数学问题吗？
•回P 处，请画出旅游船的最短路径．
•C
•山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
• 思路分析：
• 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
•段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
•一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
•的同侧，如何在BC上找到 •一点R，使PR与QR 的和最 •小”．
•参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
•解：
•A
•A'
•M
•a
•b
•N
•B
• 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等 于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此 时路径AM+MN+BN最短.
•证明：
•A
•另任意造桥M′N′， •连接AM′、BN′、A′N′. •由平移性质可知， •AM＝A′N，AM′＝A′N′， •AA′＝MN＝M′ N′.