3
线性表出矛盾．故向量组
，
线性无关，选
1, 2, 3
2
(A) 方法 2：用排除法
B 选项：取 k
0 ，向量组
，k
1, 2, 3
1
1, 2, 3 k
1
2
即 1, 2 , 3 ，
2
2
线性相关不成
立，否则因为
， 线性相关，又
1, 2, 3
线性无关，故 可由
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
2
，使得
1, 2 , 3
2.
(2)【答案】 1 【详解】面积
S xe dx
xde
x
x
0
0
xe e dx
x
x
0
b
xe e
xe e
x
x
x
x
lim
0
b
0b
b
1
其中
．
lim be b lim
lim 0
洛
b
b
b
e
e
b
b
lim be b e b
11
(3)【答案】 y
x1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的 y
f ( y, y ) 类型．
命
dp dp dy ． dp
y p, y
p
dx dy dx
dy
原方程 yy
y 2 0 化为 yp dp p2 0 ，得
dy
p
y dp p 0
0
或
dy
p
dy 0
'
0
y
，即
，不满足初始条件
x0
dx
1
p
0
，弃之；所以
2
所以， y dp p 0 ，分离变量得 dy
dp
，解之得
dy
yp
p 即 C1 . dy C1 . y dx y
1
1C
1
由初始条件
，可将 先定出来：
． 于是得
y
1, y '
C
1 ,C
x0
x0 2
21
2
1
1
dy 1
dx 2 y
2
解之得，
y
x C2 , y
号
且
． 于是特解是
C2 1
y
y0
．以
x C2
x
1
1
代入，得
C
，所以应取“+”
2
．
x1
方法 2：将
yy
y
y
(0) 1, (0)
改写为
y2 0
1
2
1
代入，有
1
2
，从而得
(3) 微分方程
yy
满足初始条件
y2 0
y
x0
1,
y
x0
1
的特解是_________.
2
1
n
(4)
lim 1 cos
n
n
n
2
1 cos n
_____ .
... 1 cos
n
0 22 (5) 矩阵 2 2 2 的非零特征值是_________.
2 22
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
无关， 1 2 2 3 .如果
，求线性方程组
1
2
3
4
的通解.
Ax
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题 (1)【答案】 -2
【详解】如果分段函数 f (x) 连续，则 f (x) 在 0 点处的左右极限相等，从而确定 a 的值．
tan
当 x 0 时，
1 e x:
xx
；
: ，所以有
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
tan x
1e ,x 0
x
(1) 设函数 f (x)
arcsin
在 x 0 处连续，则 a
.
2
ae ,
2x
x0
(2) 位于曲线 y xe x (0 x
) 下方， x 轴上方的无界图形的面积是_______.
【详解】由 y
py qy e3x ，且 y(0) y (0) 0 ，可知 y (0) 1
方法 1：因为当
时，
，所以
x2 0 ln(1 x2 ) : x2
lim ln(1
x0
) x
x
2
lim
2x
2
lim =lim
2
2
2
，
y(x)
x0
x0
x0
y(x)
y (x)
y (x) 1
故选(C)．
方法 2：由于 y(0) y (0) 0, y
y
xx
dx
0
()
xx
dx
0
xx
dx
0
的线性主部．
dy
x f x xx dx
x 1, x 0.1 dx
dy x f (1) 0.2
它等于 0．1，于是 f (1) 0.5 ，应选(D)．
(2)【答案】(D)
x
x
Fx 【详解】对与(D)，令 ( ) ( t)]dt ，令
0
t u dt du
，则
，所以
t f t f t dt [ ( ) ( )] ，则 F ( x)
(0) 1．
将函数 y(x) 按麦克劳林公式展开
x
2
y(x) 0 0 o(x )
2
ln(1 x )
2
，代入
，有
y(x)
2
ln(1 )
1
x
x
2
2
lim
lim
=lim
2
．
1
1 o(x )
2
x 0 y(x)
x 0 x2 o( x2 ) x 0
2
2x
2
(4) 【详解】方法 1：排斥法．
令 f (x) 1 sin x2 ，则 在 f (x) (0,
(1) 设函数 f (u) 可导， y f (x2 ) 当自变量 x 在 x
1 处取得增量 x
0.1 时，相应的
函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f (1) =( )
(A)－1
(B)0.1
(C)1
(D)0.5
(2) 设函数 f (x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )
x
(A) ( ) f t dt
2
与已知矛盾，排除
(B)．
C 选项：取 k
1, 2, 3
2
11
22
33
0 ，向量组
，
1, 2, 3
，即
1 k2
， 线性无关不
1, 2 , 3
1
成立，因为 可由
线性表出，
1, 2, 3
， 线性相关，排除(C)．
1, 2 , 3
1
1
D 选项： k
0 时， 1, 2 , 3 ，
1
线性相关不成立．若
，
k2
2
0
f (t)dt
2
x
(B)
0
x
(C)
t[ f (t)
0
f ( t)]dt
x
(D) t[ f (t) f ( t)]dt
0
(3) 设 y (x) 是二阶常系数微分方程 y
py qy e3x 满足初始条 y(0) y (0) 0 的
ln(1 x )
2
特解，则当 x 0 ，函数
的极限( )
y(x)
(A)不存在
x
()
A
f x A ，证
用反证法，若 A
A 0 ，则对于
2
0 ，存在 X 0 ，使当 x
fx ()
A AA 22
，即
A
A 2
()
3
f
x
A 2
A
A 2
X 时，
A 由此可知， f (x) 有界且大于
2
fx f应用拉格朗日中值定理，有
[x, X ]
A
x X fX ) () ( )
1, 2 , 3
线性表出． 即存在常数
1, 2, 3 k
，使得
1
2
11
22
3
3
又已知 可由
线性表出，即存在常数
，使得
l1, l2 ,l3
1, 2,
31
1 l1 1 l2 2 l3 3
代入上式，得
k
kl
l
l
1
2
( 1 1 2 2 3 3)
2
11
22
33
与 不能由
2 ( 1 kl1) 1 ( 2 kl2 ) 2 ( 3 kl3 )
tan x : x arcsin
22
lim f (x) 2； x 0
1 ex
tan x
x
tan
lim x0
= lim
= lim
x0
x0
x
x
x
arcsin
2
2
2
lim ( ) lim 2x
(0)
fx
f
0
x
ae a
x0
如果 f (x) 在 x 0 处连续，必有 f (0 ) f (0 ) f (0), 即 a