1.1 有限单元法的概念 基本思想:借助于数学和力学知识，利用计 算机技术而解决工程技术问题。 Finite Element Method -_FEM
Finite Element Analysis
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工程分析： 主要通过计算机，利用数值分析方法进行辅助工 程分析，是 CAD 中应用最早、卓有成效的领域之一。 分析的关键是在三维实体建模的基础上，从产品的方 案设计阶段开始，按照实际使用的条件进行仿真和结 构分析；按照性能要求进行设计和综合评价，以便从 多个设计方案中选择最佳方案。 计算机辅助工程分析: 通常包括有限元分析、优化设计、仿真（模拟分 析）可靠性分析、试验模态分析等。
(2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函 的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其 近似解的一种计算方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元方程，是 一种近似解法。
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1.2 有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程
(4) 形成整体系统的矩阵方程
案例4 零件强度的有限元 分析基础
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1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
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机械产品设计过程的一个重要环节是分析、计算， 其中包括对产品几何模型进行分析、计算，通过应力 变形进行结构分析，对设计方案进行分析、评价等。 传统的分析方法： 采用手工计算，过程繁琐，效率低，往往需要 对原型进行较大的简化并引入更多的假设，分析方法 一般比较粗略，分析结果不够可靠，只能用来对产品 设计方案作定性的比较分析，而不能作出定量的评价。
常用物理量 外力 作用于物体的外力可分为体力和面力两种。体力是指分布在整 个体积内的外力，如重力和惯性力。面力是指作用于物体表面上 的外力，例如流体压力和接触力。 应力 从物体内取出一个边长分别为dx，dy，dz的微分体（如下图）。 每个面上的应力可分为一个正应力和两个剪应力。正应力记为 σx,σy,σz 。剪应力记为 τxy ， τyx ， τxz ， τzx ， τyz ， τzy ，前一个脚标表 明τ 的作用面所垂直的坐标轴；后一个表明 τ 的作用方向。根据剪 应力互等定律有τxy=τyx，τxz=τzx，τyz=τzy。
有限元软件
最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965 年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN 有限元分析系统。该系统发展至今已有几十 个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元 分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大 学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专 用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国 的 PAFEC 、 法 国 的 SYSTUS 、 美 国 的 ABQUS 、 ADINA 、 ANSYS 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS 、 MARC 和 STARDYNE等公司的产品。
有限元分析法
有限元分析法： 是力学与近代计算机技术相结合的产物，是一种 解决工程问题的数值计算方法，1960年美国Clogh教 授首次提出“有限元法（The Finite Element Method）”的概念。
分类 有限元法包括有限元建模和有限元分析两部分， 目前它们已成为建立分析模型、共享数据的有效途 径，是解决各种工程实际问题的便利工具和有效手 段。 应用 有限元法可以处理任何复杂形状、不同物理特性、 多变的边界条件和任何承载情况的工程问题，广泛 应用于场强（力场、电场、磁场、温度场、流体场 等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析 等研究领域中。
有限元法解决问题的途径 力学分析方法可分为解析法和数值法，前者只能应用于求解简 单问题，复杂的结构问题只能应用数值法求出问题的近似解。 有限元法解决问题是物理模型的近似，而数学上不做近似处理。 其概念清晰，通用性与灵活性兼备，能灵活妥善处理各种复杂情 况。
三大类型(按其推导方法分): (1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表 示的单元性质方程。
(5) 约束处理，求解系统方程 (6) 其它参数计算
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图4-2 工程问题有限单元法分析流程
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单元类型
在采用有限元法对结构进行分析计算时，分析对象不同，采用单元类型（形状） 也不同。常见的单元类型有：杆单元、梁单元、板单元（三角形、矩形等）、多 面体单元（四面体、六面体）等。
弹性力学的基本知识
微分体的应力状态图
应变 线段的每单位长度的伸缩称为正应变，记为εx，εy，εz。 线段之间夹角的改变量称为剪应变，记为γxy，γxz，γyz。
微分体的应变示意图
位移
在载荷（或温度）变化等其它因素作用下，物体内各点之间的距离改变称为位 移，它反映了物体的变形大小。记为u,v,w，分别为X，Y，Z三个方向的位移分量。
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
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图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
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图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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有限元法的基本思想 先把一个原来是连续的物体剖分（离散）成有限个单元， 而且他们相互连接在有限个节点上（如图所示），承受等效的 结点载荷（由静力等效原则转化为节点上的等效载荷），并根 据平衡条件（应用虚位移原理建立平衡条件）进行分析，然后 根据变形协调条件把这些单元重新组合起来，成为一个组合体， 再综合求解。由于单元的个数是有限的，结点数目也是有限的， 所以称为有限元法。
基本方程
应变和位移的关系（几何方程） 物体受力后变形，其内部任一点的位移与应变的关系如下：
,
,
,
,
应力和应变的关系（物理方程） 用虎克定律表示：
E—材料的弹性模量 μ—材料的泊松比
虚功方程


虚功原理 假设一个弹性体在虚位移发生之前处于平衡状态，当弹性体产生约束允 许的微小位移并同时在弹性体内产生虚应变时，体力与面力在虚位移上所作 的虚功等于整个弹性体内各点的应力在虚应变上所作的虚功的总和，即外力 虚功等于内力虚功。 虚功方程 若用δu、δv、δw分别表示受力点的虚位移分量；用δεx、δεy、δεx、δγxy、δγyz、 δγzx表示虚应变分量；用A表示面力作用的表面积，根据虚功原理，可得虚功 方程：
1.3 工程实例
齿轮有限元分析的前后置处理图
后置处理应变网格图
后置处理应力应变色彩浓淡图
1.3 工程实例
矩形悬臂梁的有限元振型图
一阶振型叠加网格图
二阶振型叠加网格
1.3 工程实例
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
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(a) KOMATSU液压挖掘机
有限元分析的精度 取决于网格划分的密度。为了提高分析精度，同时又避免计算量过大，可以采 取将网格在高应力区局部加密的办法。
网格局部加密图
有限元法的后置处理
当结构经过有限元分析后，会输出大量的数据，如静态受力分析后节点的位 移量、固有频率计算后的振型等。故有限元计算程序要进行后置处理。 后置处理，是将有限元计算分析结果进行加工处理并形象化为变形图、等值 线图、应力应变彩色图、应力应变曲线以及振型图等，以便对变形、应力等进行 直观分析和研究。为了实现上述目的而编制的程序，称为后置处理程序。
简例及基本解法与步骤归纳
例题 设有一只受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。设杆的截面积 为A；杆长为L；单位杆长重力为q， 试用有限无法求直杆各点的位移。
解题思路
解题过程
位移法的具体解题步骤 例题之中所用的方法是有限元法中的位移法，该方法以位移作为基本未知量， 进而求出其它相关的未知量。 具体解题步骤如下： 1．单元剖分 把连续弹性体分割成许多个有限大小的单元，并为单元和节点编 号。 2．单元特征分析 以节点位移{△}e 为基本未知量，设选一个单元位移函数，之 后： （1）用节点位移表示单元位移，{f}=〔N〕{△}e。 （2）通过几何方程用节点位移表示单元应变，{ε}=〔B〕{△}e。 （3）通过物理方程用节点位移表示单元应力，{σ}=〔G〕{△}e。 （4 ）通过虚功方程用节点位移表示节点力，{F}e=〔K〕e{△}e，得出单元刚度 矩阵。 3．总体结构合成 （1）分析整理各单元刚度矩阵，通过节点的平衡方程形成节点载荷列阵、合成 总体刚度矩阵，建立以节点位移为未知量的、以总体刚度矩阵为系数的线性代数 方程：〔K〕{△} ={F}。 （ 2 ）对线性代数方程组进行边界条件处理，求解节点位移。进而由{σ}=〔G〕 {△}e可求得单元应力。
解题过程
有限元法的前置处理
用有限元法进行结构分析时,要输入大量的数据，如单元数、单元的几何特性、 节点数、节点编号、节点位置坐标等。故有限元计算程序要进行前置处理。
前置处理是在用有限元法进行结构分析之前，按所使用的单元类型对结构进 行剖分；根据要求对结点进行顺序编号；输入单元特性及结点坐标；生成网格图 象并显示；为了决定它是否适用或者是否应当修改，显示的图象应带有结点和单 元标号以及边界条件等信息；为了便于观察，图象应能分块显示、放大或缩小。 对于三维结构的网格图象需要具备能使图象作三维旋转的功能等。以上内容一般 称之为前置处理，为实现这些要求而编制的程序称为前置处理程序。 前置处理的基本功能： 1）生成结点坐标并按顺序编号； 2）生成网格单元，下图为一复杂曲面的网格划分图； 3）修改和控制网格单元； 4）引进边界条件以约束一系列结点的总体位移和转角； 5）单元物理几何属性编辑，如材料特性、弹性模量、厚度、惯性矩以及泊松比 等； 6）单元分布载荷编辑
后置处理内容： （1）数据输出： 将结点位移、单元应力按设计者的意图整理输出，还可从大量数据中筛选出 关键的有用数据，按用户要求的格式输出规格化的数据文件。 （2）图形显示： 图形显示和绘图可形象直观地表示有限元模型和计算结果，可帮助设计者迅 速了解研究对象的特征，从而对修改模型作出判断。图形显示包括有限元网格图、 结构变形图、等值线图以及振型图等。等值线有应力等值线图、位移等值线图、 等高线图和温度等值线图等，其中在工程结构分析中，以应力等值线图应用最多。 等值线图可在彩色屏幕上用不同的颜色加以形象化。下图所示为一曲面的彩色等 高线图。