2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷
专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年1月3号
页 码 一 二 三 四 五 六 七 总 分 满 分 20 15 10 20 12 13 10 100 得 分
阅卷人
备注：1．本试卷正文共7页；
2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；
3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号，解的过程写在下方空白处，不得写
在草稿纸中，否则答案无效；
4．最后附页不得私自撕下，否则作废.
5．可能用到的数值(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975
Φ=Ａ卷
一、填空题（每空1分，共10分）
1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则
()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B =0.5 .
2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___.
3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 .
4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则
{max(,)2}P X Y ≤= 4/9 .
5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为
6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均
值
，则EX = λ ，DX =
n
λ
. 二、选择题(每题2分，共10分)
1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 等于( B ).
(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则
对任意实数a 有( B ).
(A)0()1()a
F a f x dx -=-⎰ (B)0
1()()2
a
F a f x dx -=-⎰
(C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=-
3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ).
(A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 4
4.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 2
5.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).
(A)连续型随机过程 (B)连续型随机序列 (C)离散型随机过程 (D)离散型随机序列
三、计算题(共6个题目，共45分) 1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只
其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从 中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？ 解：设12;A A 分为来自甲乙箱；B 为正品
（1）14113
()()25220
P B =+=
（5分） （2）112
5
1()2/77/20
P A B ⨯=
= （10分） 2.(5分)已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布.
某台电子仪器装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？
解：11000
11
1000
1000{1000}x P X e dx e +∞
--≥==⎰ （4分）
于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为
5e - （5分）
3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某
计
数数器,()
N t表示在[0,]t到达计数器的粒子个数,试求：
(1)()
N t的均值、方差、自相关函数；
(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.
解：()4;()4;()()164min{,}
EN t t DN t t EN s N t st s t
===+（各一分，共三分）（2）平均间隔为1/4分钟（5分）
4.(5分)设总体2
~(,)
X Nμσ的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求μ的置信度为0.95的置信区间(写出过程).
解：由题知
~(0,1)
N（2分）
于是由
0.9751.96
U=知置信区间为（4.804,5.196）（5分）
5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、 3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是 等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0n X n ≥表示第n
个时刻质点所处的位置，初始分布为
()1(0),1,2,33
P X i i ===.
求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵； (2){}(0)1,(1)2,(2)3P X X X ===； (3){}(2)2P X =.
解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭ （4分）
（2）原式=11
331
19
⨯⨯=
（7分） （3）原式=7111
3393
13()27
++= （10分）
6.(10分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧<<=，其他
，02)(b
x a x x f ，且12=EX .
求：(1)b a ,的值；(2)}1{<X P .
解：由2212b a
xdx b a ==-⎰；2344
1212()b
a
EX x dx b a ===-⎰
解得
a b =
=
（6分）
（2）原式
=1
1/2xdx = （10分）
四、（12分）设随机向量(,)X Y 的概率密度为 (2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩
其他
求: (1)常数A ；
(2)关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立； (3)2Z X Y =+的概率密度.
解：（1）(2)0
1/2;2x y Ae A A +∞+∞
-+=
=∴=⎰⎰
（2分）
（2）(2)
2(2)00
()200
20
()200x x y X y
x y Y e x f x e dy x e y f y e dx y -+∞
-+-+∞-+⎧≥==⎨
<⎩⎧≥==⎨
<⎩⎰⎰ （7分）
显然，独立 （8分）
（3）
(2)
210
()200
0()0
z z
x y Z x y z
z
Z e ze z F z e
dxdy z ze
z f z z ---++≤-⎧--≥==⎨
<⎩
⎧≥=⎨
<⎩⎰⎰
（12分）
五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度
2
2()
,0,0,
()
0,0.
x
x
f x
x
αα
-
⎧
>>
=
≤
⎩
123
,,,,
n
X X X X为X的简单随机样本,求：
(1)未知参数α的矩估计和极大似然估计；
(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.
解：（1）2
3
()
x
EX dx X
α
+∞-
===
⎰
ˆ
2
X
α
∴=（5分）
2
1
2
1
1
23
2
()(,)(4)
n
i
i
X
n n
i i
L f x x eα
ααπα=
-
--∑
=∏=∏
2
2
1
1
ln3ln ln(^^^
n
i
i
L n X
αα
α
=
=--+
∑不含）
2
3
1
32
ln/0
n
i
i
n
d L d X
α
αα
=
=-+=
∑
ˆ
MLE
α= (10分)
（2
）ˆE E X αα==
= 无偏 （13分）
六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，
假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数.求X 的分布律、分布函数、 数学期望和方差.
解：由题知，2
5
~(3,)X B 分布律33235
5{}()();;;;0,1,2,3k k k
P X k C k -=== （4分） 分布函数
2712581
125117125
001()12231
3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤⎪⎩ （6分）
6/5;18/25EX np DX npq ==== （10分）。