关于高数的极限问题
陈懵比
极限是高数中的重要内容，极限的求法更为重要，下面就我个人的学习总结了一些极限的常见类型及其求法。
极限通常分为数列的极限和函数的极限，我一一做出总结。
极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。
正因为数学之美妙不可言，数学中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。
在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。
一、由定义求极限
极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。
一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。
然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。
二、利用函数的连续性求极限
此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。
三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。
满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。
四、利用两边夹定理求极限
定理如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A
两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数（或数列），并且使其极限为同一值。
注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。
五、利用两个重要极限求极限
六、利用单调有界原理求极限
单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。
使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通
常都采用数学归纳法。
七、利用洛必达法则求极限
八、利用等价无穷小代换求极限
在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。
用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。
于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子（或分母）看作一个整体，用整个分子（或分母）的等价无穷小去代换。
九、利用泰勒展式求极限
运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。
但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。
十、利用级数收敛的必要条件求极限
求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。
根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。
同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。
一、 数列的极限 1.熟悉定义
对数列{ɑ}，若存在常数ɑ，对任意>0，总存在N ，对任意自然数n>N 都有|ɑ-ɑ|<，则称ɑ为数列当n 趋于无穷大的极限，
记为 1.数列极限一般求法与类型 化简求极限 如： 夹逼准则 如
：
二、 函数的极限
1.X 常见有六种趋向情况，分别是
2.熟悉定义
3.将归结出一个定义 设函数f
（x ）在点X 的某去心邻域内有定义，若
∀ε>0，∃δ
>0，当0<|x-x |<δ时，有| f （x ）-A|<ε，则称常数
n ε∈N +n εlim n n
ɑɑ→∞=1
lim
lim lim 0n n n n n →∞
→∞→∞-===lim lim
lim 1
lim 1
n n n n n
n →∞
→∞
→∞
→∞
+
++
+∙∙∙+
≤
+∙∙∙+
≤
+∙∙∙
==⇒+
++
= 000,,,,,X X X X X X X X X -+→→→→∞→-∞→=∞000,,X X X X X X -+→→→0
A 为f （x ）当x-x
的极限 ，记为，其中
1.X →X 时极限的求法
2.多项式的极限：
3.分式的极限：
例：
此题为变换约分
此题利用了等价无穷小，常见的等价无穷小还有 x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx 、~、
x ~ln(1+x)~~、cosx ~~xlna
此题首先用洛必达法则，再利用等价无穷小，1-cosx ~
注：还有一些未定式，也可转换成
3、将
lim ()x x
f x A →=0
lim ()lim (),lim ()x x x x x x f x A f x A f x A -+→→→=⇔==00
0lim ()()x x
P x P x →=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧∞
∞
≠=∞≠=→”洛必达法则“穷小约分必达法则，通过等价无分子分母变换约分，洛
,"00"0)(,0)(,0)(,)
()
(lim 000000
x f x g x g x g x f x x 10
1
515lim )5)(5(55lim 2555lim 2=
+→=+--→=--→x x x x x x x x x 1cos 0
lim
cos 0lim cot 0lim "0
"=→→=
→=
x x siinx
x
x x x x x 11-+n x n
x 1-e
x
n
x 1,212-a x
x 22
1x 61
6lim 3cos 1lim )()sin (lim sin lim 22020'3'0"0
0"30==-=-=-→→→→x
x x x x x x x x x x x x x ”式来求”或“0
“∞
∞定义做个归结,,+∞→-∞→∞→x x x
设f(x)在|x|>ɑ,(ɑ>0)时有定义，A 为常数，若
x
1抓大头，即看y 的最高次项
若分子的A 最高次项高于分母最高次项，则 若分子的最高次项低于分母的最高次项，则 若分子与分母的最高次项相同，则看最高次项前面的系数
例： 最后记住两个重要极限 1、 特征:分子为sin □，□内为无形，分母为分子中的□
2、 特征：底数为1+无穷小指数为该无穷下的倒数关于高数极限的学习方法多思考，多总结方法。
极限部分就象春秋时期，内容极少，精益求精。
1. 利用极限的四则运算及复合运算法则
A
）x （f lim ，A ）x （f lim A ）x （f lim 其中，A ）x （f lim 时的极限，记为x ）当x （f 为A 则常数，|)(|有||),|(|0,0-x x x ==⇔==∞→<->∀>>∃>∀∞
→∞
→∞
→∞
→εεA x f X x a x X 时极限的求法∞→∞=∞
→)x （g ）
x （f lim
x 0)
x （g ）
x （f lim
x =∞
→9
9334
5x x 32分母最高次项为x 2592，其中分子最高次项为281）x 2x 4（）2x 3（）3-x 2（lim =++∞→281
322592）
x 2x 4（）2x 3（）3-x 2（lim 334
5x ==++∞→”且含三角和反三角0
，常用于“1x sinx lim
】x =∞
→型1，常用于e ）x
11（lim
x
】x ∞∞
→=+
2. 利用无穷小的运算法则
3. 利用无穷小与无穷大的关系
4. 利用limf(x)=A <=> f(x)=A+无穷小
5. 利用两个重要极限
6. 利用夹逼定理
7. 利用单调有界准则及解方程
8. 利用等价无穷小代替
9. 利用函数的连续性
10. 利用递推公式
11. 利用合并或分项，因式分解，约分，变量代换，取对数等技巧
12. 利用函数极限与数列极限的关
13. 利用洛必达法则
14. 利用导数定义
15. 利用微分中值定理与泰勒公式
16. 利用定积分定义、定积分性质
17. 利用收敛级数的性质。