ω1△t-ω0△t=2π，
所以
t＝
2 1 0
＝
2 2 T
0
＝
1 3
2
g 3R
0
；
3．木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为 v0 时，上升的最大高 度可达 h．已知艾奥的半径为 R，引力常量为 G，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀 薄气体的阻力，求：
（1）艾奥表面的重力加速度大小 g 和艾奥的质量 M； （2）距艾奥表面高度为 2R 处的重力加速度大小 g＇； （3）艾奥的第一宇宙速度 v．
【答案】 r
3
R2gT 2 4 2
【解析】
【分析】
根据万有引力充当向心力即Biblioteka 求出轨道半径大小。【详解】
质量为 m 的北斗地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
G
Mm r2
＝m
4 2 T2
r
；
在地球表面： G
Mm1 R2
m1g
联立解得： r 3
GMT 2 4 2
3
R2gT 2 4 2
2hv02 R2 GL2
（3）根据万有引力公式 G
mM R2
＝m
4 2 T2
R ；可得 M
4 2R3 GT 2
，
而星球密度 M ,V 4 R3
V
3
联立可得
3 GT 2
8．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体 m 所受的重力，称量结果随地理位置 的变化可能会有所不同。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G．将地球 视为半径为 R、质量均匀分布的球体。 （1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数 F0，及在北极上空高出地面 0.1R 处称量时弹 簧秤的读数 F1；
【答案】（1） T＝6
【解析】
3R （2） g
t＝ 1
3
2
g 3R
0
【分析】
【详解】
（1）对卫星运用万有引力定律和牛顿运动定律可得
G
Mm
3R2
＝m
4 2 T2
3R
地球表面的物体受到重力等于万有引力
mg＝G
Mm R2
联立解得T＝6 3R ； g
（2）以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转 过弧度少 2π．
2．一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为 3R．已知 R 为地球半径，地球 表面处重力加速度为ｇ． （1）求该卫星的运行周期． （2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度 ω0．某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次 出现在该建筑物的正上方？
mg ，解得 g ' v02 18h
（3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时 mg
m
v2 R
，解得 v
v0
R 2h
【点睛】
在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式
G
Mm r2
v2 m
r
m 2 r
m
4 2 T2
r
ma 在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后
弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是
对月球进行科学探测。宇航员在月球上着陆后，自高 h 处以初速度 v0 水平抛出小球，测量 出小球的水平射程为 L(这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为 R，万有引力常
量为 G。
(1)试求月球表面处的重力加速度 g.
(2)试求月球的质量 M
(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为 T，试求月球的
由万有引力等于物体的重力得：mg=
G
Mm R2
所以该星球的质量为：M= gR2 = 2hR2/(Gt2)； G
（4）设有一颗质量为 m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为 v，
由牛顿第二定律得：
G
Mm R2
m
v2 R
重力等于万有引力，即
mg=
G
Mm R2
，
解得该星球的第一宇宙速度为： v gR 2hR t
引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：
；
【点睛】 本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同 步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式 与牛顿第二定律可以解题．
7．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在 2030 年前后实现航天员登月，
（1）火星的质量；
（2）火星的第一宇宙速度；
（3）人造卫星的运行周期。
【答案】（1） g R2 （2） gR （3） 4 R2
G
g
【解析】
【详解】
GMm
（1）在火星表面，由万有引力等于重力得： R2 mg 得火星的质量 M g R2 ；
G
（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据 mg m v2
R 得 v gR ；
（3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得
GMm
2
2R
m
2 T
2
2R
联立得T 4 R2 。 g
平均密度 ρ.
【答案】（1） g 2hv02 （2） M 2hv02R2
L2
GL2
（3）
3 GT 2
【解析】
【详解】
（1）根据题目可得小球做平抛运动,
水平位移: v0t=L
竖直位移:h= 1 gt2 2
联立可得:
g
2hv02 L2
（2）根据万有引力黄金代换式
G
mM R2
＝mg
，
可得 M
gR2 G
Gm2 L2
m( 2 )2 L T
T 4 L3 5Gm
（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗
L
星，满足：
2
Gm2 L2
cos 30
m( 2 ) cos 30
解得：= 3Gm L3
5．2018 年 11 月，我国成功发射第 41 颗北斗导航卫星，被称为“最强北斗”。这颗卫星是 地球同步卫星，其运行周期与地球的自转周期 T 相同。已知地球的 半径为 R，地球表面的 重力加速度为 g，求该卫星的轨道半径 r。
【答案】（1） 4
L3 （2） 5Gm
3Gm L3
【解析】
【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速
度；
【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
Gm2 (2L)2
非常大的，所以需要细心计算
4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用， 三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位 于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三 角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体 的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
（1）同步卫星离地面高度 h （2）地球的密度 ρ(已知引力常量为 G)
【答案】（1） 3
gR2T 2 4 2
R
（2） 3g 4 GR
【解析】
【分析】
【详解】
（1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，地球同步卫星到地面的高度为 h，同步卫星所受万
有引力等于向心力为
G mM
4 2 R h
m
(R h)2
（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数 F2； （3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。如果把小物体放在北纬 40°的地球表面 上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。
【答案】（1）
F0
G
Mm R2
F1
R
GMm 0.1R
2
（2）
F2
G
Mm R2
m
4 2R T2
（3）
【解析】
【详解】
（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：
【答案】(1) v0=x/t (2) g=2h/t2 (3) 2hR2/(Gt2) (4) 2hR t
【解析】
（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt，
解得从抛出到落地时间为：v0=x/t
（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h= 1 gt2， 2
解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t2；
（3）设地球的质量为 M，静止在地面上的物体质量为 m，
GmM F0 R2
GmM 在北极上空高处地面 0.1R 处弹簧秤的读数为： F1 (R 0.1R)2 ；
（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：
F2
GmM R2
4 2Rm T2
（3）如图所示
9．今年 6 月 13 日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使 用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星．如图所示，A 是地球的同步 卫星，已知地球半径为 R，地球自转的周期为 T，地球表面的重力加速度为 g,求：
【答案】（1） M
R 2 v02 2hG
；（2） g v02 18h
；（3） v
v0
R 2h
【解析】
【分析】