【典型例题】
【例1】 观察下列算式：
,
65613,21873,7293,2433,
813,273,93,338
7
6
5
4321========……用你所发现的规律写出2004
3
的末位数字是__________。

【例2】观察下列式子：
326241⨯==+⨯；4312252⨯==+⨯；5420263⨯==+⨯；6530274⨯==+⨯……
请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来_______ ___。

【例3】 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。

……在第n 个图形中有_________________个三角形（用含n 的式子表示）。

【例4】如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为
21的矩形，接着把面积为21的矩形等分成两个面积为4
1
的正方把面积形，再为
41的矩形等分成两个面积为8
1
的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： 【例5】把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3
是_________________第n 个层中有_________________个
【例6】用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖 块；（2）第
n 个图案中有白色地面砖 块。

……
【例7】下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有)2(≥n n 个棋子，每个图案棋子
总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子 来表示。

……
【例
8
】通过计算，控索规律：
225152=可写成25)11(1100++⨯ 625252=可写成25)12(2100++⨯
1225352=可写成25)13(3100++⨯ 2025452=可写成25)14(4100++⨯………… 5625752=可写成 7225852=可写成
（1） 从第（1）的结果，归纳、推测得：=+2
)510(n
（2）
根据上面的归纳、推测，请算出：=2
1995
【例9】观察下列几个算式，找出规律：
1＋2＋1=4 利用上面规律，请你迅速算出：
1＋2＋3＋2＋1=9 ①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1= 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16 ②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25 ③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n 的计算公式吗？
……
③
②
① 第二第三
第一
【例10】给出下列算式：18813
22
⨯==-，28163522⨯==-，
38245722⨯==-，48327922⨯==-，…
观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是 。

【例11】研究下列算式，你会发现有什么规律？
224131==+⨯；239142==+⨯；2416153==+⨯；2525164==+⨯……
请将你找出的规律用公式表示出来： 。

【例12】如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：
a 所表示的数： 。

b 所表示的数： 。

第十层第三个数是： 。

第n 第三个数是: 。

【例13】11111
3
=⨯⨯=，11112=⨯=，
那么=++++++333333
100994321。

【例14】把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。

如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。

（1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2）
当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
【例15】将1至1001个数如下图的格式排列。

用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。

1、一组按规律排列的数：
41，93，167，2513，36
21，…… 请你推断第9个数是 ． 2、已知下列等式： ① 13
＝12
； ② 13
＋23
＝32
； ③ 13
＋23
＋33
＝62
；
④ 13
＋23
＋33
＋43
＝102
；…………由此规律知，第⑤个等式是 ．
3、观察下列各式；①、12
+1=1×2 ；②、22
+2=2×3； ③、32
+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 。

4、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9；
③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子 5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（ ）
6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。

第1行 1
第2行 －2 3
第3行 －4 5 －6
第4行 7 －8 9 －10
第5行 11 －12 13 －14 15
1
551
14411331121111b b a
1条 2条 3条
7、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ．
8、一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到O 1A 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到O 2A 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 。

9、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴 根.
……
10、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○● ………… 从第1个球起到第2005个球止，共有实心球 个．
11、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含n 的代数式表示）。

12、（2005年宁夏回族自治区）“◆”代表甲种植物，“★”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植. 按此规律第六个图案中应种植乙种植物 _________ 株.
★ ★ ★ ★
★ ★ ★ ◆ ◆ ◆
★ ★ ◆ ◆ ★ ★ ★ ★ ◆ ★ ★ ★ ◆ ◆ ◆ ★ ★ ◆ ◆ ★ ★ ★ ★ 图 1 ★ ★ ★ ◆ ◆ ◆
图 2 ★ ★ ★ ★
图 3
13、已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．（1）当n = 5时，共向外作出了 个小等边三角形（2）当n = k 时，共向外作出了 个小等边三角形（用含k 的式子表示）．
14、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示）
……… 15、观察图形，并完成下列表格：
序号
1
2
3
…
n
图形
… (此空不填)
的个数 8
24
… 的个数
1
4
…
9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9个数的和为 。

（第16题图） 第17题图 17、上图的数阵是由全体奇数排成
n =3 n =4
n =5
（第13题）
……
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；（3）这九个数之和能等于2006吗？，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。

18、如图,两条直线最多有1个交点,三条直线最多有3个交点,四条直线最多有6个交点,…,那么六条直线最多有( )个交点
1/9、将图1正方形作如下操作:第1次:分别连接各边中点如图2,得到5个正方形;第2次:将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形…,以此类推,根据以上操作,若要得到2013个正方形,则需要操作的次数是( )
A.502
B.503
C.504
D.506。