方程的根与函数的零点教案
1.1方程的根与函数的零点
教学目标
．知识与技能
理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和
数形结合思想.
．过程与方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的
关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
．情感、态度与价值观
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨
证思想，享受数学问题研究的乐趣.
教学重点与难点
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的
求法.
难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.
教学方法
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交
流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.
教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入观察下列三组方程与函数
方程函数
x2–2x–3=0y=x2–2x–3
x2–2x+1=0y=x2–2x+1
x2–2x+3=0y=x2–2x+3
利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系师生合作
师：方程x2–2x–3=0的根为–1，3函数y=x2–2x–3与x轴交于点
生：x2–2x+1=0有相等根为 1.
函数y=x2–2x+1与x轴有唯一交点.
x2–2x+3=0没有实根
函数y=x2–2x+3与x轴无交点
以旧引新，导入课题
概念形成 1.零点的概念
对于函数y=f,称使y=f=0的实数x为函数y=f的零点
函数的零点与方程根的关系
方程f=0有实数根函数
y=f的图象与x轴有交点函数y=f的零点
二次函数零点的判定
对于二次函数y=ax2+bx+c与二次方程ax2+bx+c，其判别式△=b2–4ac
判别
式
方程ax2+bx+c=0的根函数y=ax2+bx+c的零点
△＞0两不相等实根两个零点
△=0两相等实根一个零点
△＜0没有实根0个零点
师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义
师：考察函数①y=lgx
②y=lg2③y=2x
④y=2x–2的零点
生：①y=lgx的零点是x=1
②y=lg2的零点是x=0
③y=2x没有零点
④y=2x–2的零点是x=1
归纳总结
感知概念
分析特征
形成概念
概念深化引导学生回答下列问题
①如何求函数的零点？
②零点与图象的关系怎样？
师生合作，学生口答，老师点评，阐述
生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根
②零点即函数图象与x轴交点的横坐标
③求零点可转化为求方程的根
以问题讨论代替老师的讲援
应用举例练习 1.求函数y=–x2–2x+3的零点，并指出y＞0，y=0的x的取值范围
练习 2.求函数y=x3–2x2–x+2的零点，并画出它的图象
练习 3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：–x2+3x+5=0；2x=–3；
x2=4x–4；
x2+2x=3x2+5.学生自主尝试练习完成练习1、2、3
生：练习1解析：零点–3，1
x∈时y＞0
时y＜0
练习2解析：因为x3–2x2–x+2=x2–==，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]，
在这4个区间内，取x的一些值，列出这个函数的对应
值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示
练习3解析：令f=–x2+3x+5，作出函数f的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.
x=–3可化为2x2–4x+3=0
令f=2x2–4x+3作出函数f的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x=–3无实数根
x2=4x–4可化为x2–4x+4=0,令f=x2–4x+4，作出函数f的图象，它与x轴只有一个交点，所以方程x2=4x–4有两个相等的实数根
x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x–5=0，令f=2x2+2x–5，作出函数f的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根
师：点评板述练习的解答过程让学生动手练习或借助多
媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力
归纳总结知识方面
零点的概念、求法、判定
数学思想方面
函数与方程的相互转化，即转化思想
借助图象探寻规律，即数形结合思想学生归纳，老师补
充、点评、完善回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识
的能力
课后作业 3.1课时习案学生独立完成固化知识，提升能
力
备选例题
例：已知a∈R讨论关于x的方程|x2–6x+8|=a的实数解的个数.
【解析】令f=|x2–6x+8|，g=a，在同一坐标系中画出f与g的图象，如图所示，
f=|2–1|，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a＜0时，原方程无实数解；
当a=0时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a=0时，原方程实数解的个数为 2.。