水厂供水设施的建设与改造摘要一、问题的重述水是地球上的最常见的物质之一，是包括人类在内所有生命生存的重要资源，也是生物体最重要的组成部分，城市建设自然离不开水，城市供水系统的建设作为“民生工程”，其建设具有举足轻重的意义。

改革开放后，我国经济飞速发展，城市建设也得到了广阔的发展空间，近5年来，随着房地产的迅速发展，城市建设进度空前高涨。

这一变化为城市建设的相关设施也带来了严峻考验。

以自来水供应为例，其城市原有的供水管道的老化与现代城市用水需求的上升给供水公司带来机遇和挑战。

为解决城市供水问题公司决定新建供水管道，经测算，修建新供水管道的费用为L Q P 5.066.0 （万元），其中Q 表示管道的最大水流量（万立方米/小时），L 表示管道长度。

问题1：某市现有4条主供水道，由于设备老化和沉积，其供水能力逐年减弱。

表1给出了他们在今年的最大可供水量的粗略统计科数字。

为解决这一问题，水利专家经过勘察，在该市规划了8条短期供水管道的线路和一条永久性供水管道。

由于短期供水管道的修建距离和环境影响，铺设费用和预计供水量有所不同，详见表2.而预计每条管道的可供水量还会一平均每年10%左右的速率减少。

同时开始建设一条20公里的长久性供水管道，贯穿整个城市主要需求区，修建工程从开工到完成需要三年时间，并每年投资的费用为万元的整数倍。

要求完成之后，通过新管道可供水能力达到100万立方米/小时。

公司计划从2012年开始连续三年，每年最多可提供60万元用于修建短期供水管道和新建主供水管道，为了保证该市从2012至2016年这五年间每年分别能至少达到可供水量150,160,170,180,190万立方米/小时的供应能力，请作出一个从2012年起三年的修建计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。

尽量节省（不考虑利息的因素在内）。

表1 现有四条供水管道在近几年的可供水量（万立方米/小时）表2 建设各条短期管道费用（万元）和预计当年可供水量（万立方米/小时）问题2：该市共有9个用水集中点，分别标记为①——⑨，一个自来水公司，标记为10。

下图给出了它们大致的相对地理位置，表3给出了各集中点之间（以及自来水厂）的距离。

自来水公司打算拟定一个修建供水管道网络计划，提供各主要区域的用水问题。

要求完成之后，每个用水集中点可以达到各自用水量。

表3 各集中点之间的距离（单位：公里）2 3 4 5 6 7 8 9 10 用水量1 0.8 0.5 0.9 1.2 1.4 1.2 1.6 1.7 2.2 502 0.9 1.5 1.7 0.8 1.1 1.8 1.4 2.2 803 0.7 0.9 1.1 0.7 1.2 1.2 1.7 604 0.3 1.7 1 0.7 1.5 1.8 405 1.8 1 0.6 1.5 1.5 856 0.9 1.4 0.8 1.6 657 0.8 0.6 1.1 558 1.1 1.1 459 1 95请你们根据表3中的数据，为该自来水公司提供一个各集中点之间修建新供水管道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。

（说明：从点点B的新供水管道，一般要求能够供应点A及下游新供水管道的供水量。

）问题3：你们是否能够为该公司提出一个更加合理的解决城市供水问题的办法？二、问题的分析问题一的分析：本题的主要问题在于如何制定8条短期供水管道和一条永久性供水管道的修建计划，从而使整个方案的总开支最小。

首先，对现有的四条供水管道的供水量随年份的变化进行曲线拟合，预测出从2012年起五年内的可供水量。

再建立以总开支最小为目标函数，将题中所给要求作为约束条件对目标函数进行约束，并对8条短期管道在各年是否修建好设置0-1变量。

最后利用LINGO软件编程进行求解得到总开支最小的最优方案。

问题二的分析：问题二的关键在于如何在各集中点之间修建新供水管道使得总费用尽量节省，修建新供水管道的费用与各用水集中点的用水量和其之间的距离有关，要确保每个用水集中点都可以达到各自用水量，则上游的供水量在满足自身的供水量外还要确保满足下游各用水集中点的用水量。

故建立以总费用最小为目标函数，用水量及距离为约束条件的最优化模型，并通过LINGO软件进行求解。

问题三的分析：现实生活中，由环境等各种因素的影响，供水管道往往可能出现水管破裂、堵塞等状况。

第二问的方案虽达到了总费用最节省的目的，但一旦某一条主供水管道出现问题，就会对下游管道的供水造成影响。

为解决这一问题，可建立从自来水公司1开始到每个用水集中的管道相对独立，但路线过长，造成总修建费用过大，故本文采取对自来水厂进行搬迁的方法，利用LINGO软件计算出在各管道相对独立的前提下，修建距离最短、费用最少的搬迁点，并计算出本方案的最小费用。

最后，将模型三与模型二进行对比，验证其可行性与优越性。

三、模型的假设1、假设管道的可供水量只跟其供水能力有关，不考虑其它因素对各管道可供水量的影响；2、不考虑利息的因素对总费用的影响；四、符号说明ik q ：从2012年起第i 年编号为k 的现有供水管道的可供水量，4,3,2,1=i ，8,2,1 =k ,单位（万立方米/小时）；j V ：编号为j 的短期管道的当年供水量，8,2,1 =j ，单位（万立方米/小时）； j w ：编号为j 的短期管道的建设费用，8,2,1 =j ，单位（万元）； Q ：管道的最大水流量，单位（万立方米/小时）；i L ：第i 年修建新供水管道的管道长度，3,2,1=i ，单位（公里）； ij Q ：点i 输送到点j 的供水量，10,2,1 =i ，10,2,1 =j ，单位（万立方米/小时）； ij l ：点i 到用点j 的的最短距离，10,2,1 =i ，10,2,1 =j ，单位（公里）； k q ：用水集中点k 的所需用水量，10,3,2 =k ，单位（万立方米/小时）；五、模型的建立与求解（一）问题一： 模型一的准备：首先为便于分析，将2003至2011年的年份转化为第1至第9年。

观察表1现有四条供水管道在近几年的可供水量的数据，可看出四条供水管道的可供水量随年份递减，分别对四条现有供水管道的供水量随年份的变化进行曲线拟合，预测出从2012年起现有四条供水管道五年内的供水量。

1.根据表1的数据，利用MATLAB 中CFTOOL 工具箱分别做出1至4号现有管道的供水量与年份的关系图如下图（1）所示：1号现有供水管道 2号现有供水管道3号现有供水管道 4号现有供水管道图（1）并得到拟合函数为：46.33202.11+-=x f)3004.0exp(02.292x f -=98.29085.23+-=x f7985.022.74801.84++=x x f通过所拟合出的四条管道供水量的表达式分别计算出从2012年起现有四条供水管道五年内的供水量，得到结果如下表（4）：表（4）根据上表可得出，从2012年起第修建各年现有4条管道的总可供水量为： 第一年： ∑=411k k q =47.6675 第二年： ∑=412k k q =43.3721 第三年： ∑=413k kq=39.2811第四年： ∑=414k k q =35.3444 第五年： ∑=415k kq=31.5252模型一的建立： 1.目标函数的建立： （1）新管道总费用最小：修建计划方案的目的是要使三年的总开支最小，修建新供水管道的费用为：L Q P 5.066.0=要求其可供水能力要达到100万立方米/小时，即100=Q ，管道长度L 为20公里，则修建新管道总的最小费用为2010066.05.0⋅⋅=P =132（万元）。

（2）短期管道总费用最小：由于8条短期管道要在3年内修好，但不确定各管道分别在第几年修好，故本文对8条短期管道在各年是否修建好设立0-1变量：⎩⎨⎧=年修好的管道未在第编号为年修好的管道在第编号为i j i j x ij 0 1，3,2,1=i ，8,2,1 =j则三年所有短期管道的总费用为：ij i j ij w x ∑∑==3181综上得三年总开支最小的目标函数为：minij i j ij w x ∑∑==3181+132 2.约束条件的确定：（1）条件1：每年最多可提供60万元用于修建短期供水管道和新建主供水管道，新建主管道长度L 为20公里，且每年投资修建的费用为万元的整数倍，即：6066.05.081≤⋅+∑=i j j ij L Q w x ，3,2,1=i 2031=∑=i i L i L Q 5.066.0⋅为整数，3,2,1=i（2）条件2：所有管道在三年内修好，8条短期管道在三年内最多只修建一次，最多可修建8条，则：∑=31i ij x ≤1∑∑==3181i j ij x ≤8 （3）条件3：8条短期供水管道的可供水量以平均每年10%左右的速率减少，在此本文假设其以平均每年10%的速率减少，则后一年供水量是前一年的0.9倍。

短期供水管道的总供水量分别为： 第一年：∑=811j j j v x 第二年：∑∑==+⋅8181219.0j j j j j j v x v x 第三年：∑∑∑===+⋅+⋅81813281219.09.0j j j j j j j j j v x v x v x 第四年：∑∑∑∑====+⋅+⋅+⋅814818132281319.09.09.0j j j j j j j j j j j j v x v x v x v x第五年：∑∑∑∑∑=====+⋅+⋅+⋅+⋅8158142818133281419.09.09.09.0j j j j j j j j j j j j j j j v x v x v x v x v x （4）条件4：要保证该市从2012年至2016年这五年间每年分别能至少达到可供水量150、160、170、180、190万立方米/小时的供应能力，其各年总供水量包括4条现有管道，8条短期管道及新建主供水管道在当年可供水量的总和，则每年各供水管道的可供水量必须满足： 第一年：∑=411k k q +∑=811j j j v x ≥150 第二年：∑=412k k q +∑∑==+⋅8181219.0j j j j j j v x v x ≥160 第三年：∑=413k kq+∑∑∑===+⋅+⋅81813281219.09.0j j j j j j j j j v x v x v x ≥170第四年：∑=414k k q +∑∑∑∑====+⋅+⋅+⋅814818132281319.09.09.0j j j j j j j j j j j j v x v x v x v x +100≥180第五年：∑=415k k q ++⋅+⋅+⋅∑∑∑===2818133281419.09.09.0j j jj j j j j j v x v x v x +⋅∑=9.0814j j j v x ∑=815j j j v x +100≥190 考虑到该公司计划三年内全部修建好所需的所有管道，则从修建起第四、五年 的可供水量的约束条件只需满足第五年的约束条件即可。