2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质
考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性
1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( )
A.图像与y轴的交点坐标为（0，1）
B.图像的对称轴在y轴的右侧
C.当时，x<0的值随y值的增大而减小
的最小值为-3
2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x-1013
y-3131
下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( )
或6 或6 或3 或6
5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）
或2 或2
6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
考点2：抛物线特征和a,b,c的关系
1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y
2. 其中正确的结论有( )
个个个个
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )
<4ac >0
b=0 b+c=0
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），下列结论：① 2a-b=0；
② ；③当-1，y 0；④当a=1，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=-2，其中正确的是( )
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
4.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）
A．abc＜0 B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞0
考点3：抛物线的平移、旋转、轴对称
1.把抛物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____.
2.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) =-5(x+1)2-1 =-5(x-1)2-1
=-5(x+1)2+3 =-5(x-1)2+3
3.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移
a(a>0)个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则点C的坐标为_____.
4.抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
5.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A.(-3,-6)
B.(-3,0)
C.(-3,-5)
D.(-3,-1)
考点4：二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数y=x2+2xm的图象与x轴有且只有1个交点，则m的值为___.
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为( )
3.如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则
①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；
③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3． 其中正确的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
4. 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a ），下列结论：①4a+2b+c ＞0；②5a -b+c=0；③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则-5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-4．其中正确的结论有（ ） 个个个个
5.已知二次函数y=x 2-x+
4
1
m-1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是（ ） ≤5 ≥2 ＜5 ＞2
二次函数的综合应用
考点1：线段、周长问题
1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直
线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
3．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（，0）和点B，交y轴于点C（0，4），一次函数y＝kx+m 的图象经过点B，C，点P是抛物线上第二象限内一点．
（1）求二次函数和一次函数的表达式；
（2）过点P作x轴的平行线交BC于点D，作BC的垂线PM交BC于点M，设点P的横坐标为t，△PDM 的周长为l．
①求l关于t的函数表达式；
②求△PDM的周长的最大值时点P的横坐标；
考点2：图形面积问题
1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
2.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点3：特殊三角形的存在性问题
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y 轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点4：特殊四边形的存在性问题
1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
2. 如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C.
(1)求抛物线的解析式；
()如图2所示，M是线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点D坐标，若不存在请说明理由.
3.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a-2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），经过点A的直线y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD =4AC.
⑴求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴。

(2)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。

考点5：相似三角形的存在性问题
1.如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2所示，M是线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.若以C，P，N为顶点的三角形与相似，求CPN的面积．。