圆锥曲线专题 求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。

策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221ab ac e -==；双曲线中221a b a c e +==.所以只要求出ab值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率.解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则1221221=-b y a x ① 1222222=-by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得13222121==--=a b x x y y k BD，解得322=ab ，所以231122=+=+=a b e .方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22ab 的值，从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+，2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22a b 的值，最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313.A 213.B 315.C 210.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率21-=k ，求椭圆的离心率.3.（母题）已知双曲线)0(1:22>=-m y mx C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为032=±y x ，比较可得32=a b ，则313941122=+=+=a b e .2.答案：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则1221221=+b y a x ① 1222222=+by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得2221212ab x x y y k -=--=直线AB 的斜率21-=k ，所以21222-=-=a b k ，解得4122=a b所以离心率23411122=-=-==a b a c e .3.答案：曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ，设),(00y x P ，则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=1001，点),(00y x P 到直线2l 的距离my m x d +-=1002，mmy x my m x y m x d d +-=+-⋅+=⋅11220000021因为),(00y x P 在曲线C 上，所以m my x =-2020，故21121=+=⋅m m d d ，解得1=m 所以2=e .策略二：构造c a ,的关系式求离心率根据题设条件，借助c b a ,,之间的关系，沟通c a 、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e .例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点P 在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，1MF 的中点为P ，则点P 的横坐标为2c-.由c F F PF ==21121， 焦半径公式a ex PF p --=1有a ca c c --⨯-=)2(，即02222=--ac a c 有0222=--e e解得31+=e ，或31-=e （舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于c a ,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义ace =整理成关于e 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】1.（2011新课标）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）.A 2.B 3.C 2 .D 32.（2008浙江）若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）.A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意a aa c AB 22222=-=，解得2=e .2.答案：依据题意2:3)(:)(22=-+ca c c a c ，整理得223a c =，所以3==a c e .策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即e dMF =.例3.（2010年辽宁卷）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60,2AF FB =,求椭圆C 的离心率.解法一：作椭圆的左准线B A '',过A 作B A ''的垂线，垂足为A '；过B 作B B '的垂线，垂足为B '.过B 作A A '的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则e A A AF ='e AFA A ='⇒，eB B BF ='e BF B B ='⇒ 12::==''e BF e AF B B A A B B A A '='⇒2 且A A BM '⊥,所以M 是A A '的中点又因为直线l 的倾斜角为︒60，即︒=∠=∠60AFx BAM ， 所以在BAM Rt ∆中，A A AM AB '==2,故3232=⋅='=AB AB A A AF e . 解法二：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得22123(2)3(2),b c a b c a y y -+--==因为2AF FB =，所以122y y -=.即 223(2)3(2)2b c a b c a +--=⋅得离心率 23c e a ==. 方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。

对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。

【同类题型强化训练】1.（2010全国卷二）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则=k （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 22.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为 .【强化训练答案】1. 答案：设直线l 为椭圆的右准线，e 为离心率，过B A 、分别作A A ',B B '垂直于l ，B A ''、为垂足，过B 作BE 垂直于A A '与M ，如图3所示，由椭圆第二定义，则eAF A A =',e BF B B ='，由FB AF 3=,得eBF A A 3='所以332142cos ====∠e BFe BF ABAE BAE ， 21cos 1tan 2=-∠=∠BAEBAE ，所以2=k .故选B .2.答案：方法一：如图4，22||BF b c a =+=, 作1DD y ⊥轴于点D ',则由FD BF 2=，得||||2||||3OF BF DD BD ==',所以33||||22DD OF c '==,即32D cx =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a =-,整理得22320c a ac -+=.两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =. 方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，F 分线段BD 所成的比为2，222230223330;122212222c c c c y b x b y b bx x x c y y -++⋅-=⇒===⇒===-++，带入 222291144c b a b +=，33e ⇒=.课时2、离心率的取值范围一、师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。

策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围用曲线中变量的范围，在椭圆222210x y a b a b+=>>（）中，a x a ≤≤-；在双曲线中222210,0x y a b a b-=>>（）中，a x -≤或a x ≥. 例1.设椭圆222210x y a b a b+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=︒，求离心率e 的取值范围.解析：设),(y x P ，又知120(0)F c F c -(，)，，，则 ),(1y c x F +=，),(2y c x F -=因为1290F PF ∠=︒，则P F P F 21⊥，即0))((221=+-+=⋅y c x c x P F P F 所以222c y x =+联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221c y x b y a x ，消y ，解得2222222a c ab x a b -=- 又因为1290F PF ∠=︒，故220a x <≤，22222220a c a b a a b-≤<-即①解不等式①，结合椭圆的离心率范围为)1,0(∈e，可得[12e ∈）. 方法点拨：由题知a x a <<-，根据限制条件用c b a ,,表示x ，即),,(c b a x ϕ=，然后代入不等式a c b a a <<-),,(ϕ，结合222c b a +=整理得关于c a ,的齐次不等式，从而求出离心率的取值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决. 【同类题型强化训练】1.（2007湖南）设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在点,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A 202⎛⎤ ⎥ ⎝⎦， .B 303⎛⎤ ⎥ ⎝⎦， .C 212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， .D 313⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 2.(2008福建)双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的两个焦点为21F F 、,若P 为其上一点，且212PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为（ ）.A (1,3).B (]1,3.C (3,+∞).D [)3,+∞3.（2010四川）椭圆22221()x y a b a b +=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ).A 20,⎛⎤⎥⎝⎦.B 10,2⎛⎤⎥⎝⎦.C )21,1⎡-⎣ .D 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【强化训练答案】 1. 答案：如图,c ca AF -=22,因为线段1PF 的中垂线过点2F ，则22121AF F F F F ≥=c F F PF 2212==,即c c a c -≥22，解得),33[+∞∈e 又椭圆的离心率)1,0(∈e ，综上31e ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 2.答案：21F F 、分别为左右焦点，设),(00y x P 在双曲线的右支上，则a ex PF a ex PF -=+=0201,，由212PF PF =，则)(200a ex a ex -=+解得eax 30=因为),(00y x P 在双曲线的右支上，则a x ≥0，即a ea≥3，解得31≤<e . 3.答案：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ， 即F 点到P 点与A 点的距离相等而22a b FA c c c=-=],[c a c a PF +-∈ 于是2b c],[c a c a +-∈ 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤--≤-222222c ac c a c a c ac ⇒1112c ac c aa ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又)1,0(∈e ，故)1,21[∈e . 策略二：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用例 1.已知21F F 、为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，M 为椭圆上一点，,6021︒=∠MF F 则椭圆的离心率的范围为 .解析：如图,M 为椭圆上一点，设),(00y x M ，则0201,ex a MF ex a MF -=+= 在21F MF ∆中，由余弦定理，则21260cos 212212221=⋅-+=︒MF MF F F MF MF ① a MF MF 221=+② 联立①②解得,342222e a c x -=因为在椭圆中2200a x <≤，则 2222340a e a c <-≤，解不等式得)1,21[∈e .方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式，用c a ,表示0x ，即),(0c a x ϕ=，根据变量a c a a ≤≤-),(ϕ解出离心率，但是此题要构成21F MF ∆，故点M 不能在x 轴上，所以此题a c a a <<-),(ϕ结合椭圆)1,0(∈e 的范围可求出离心率的范围.【自我评价】1. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为)0,()0,(21c F c F 、-，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围为 .2. (衡水调研卷)从一块短轴长为b 2的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是]4,3[22b b ，则椭圆离心率的取值范围是 .3.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） .A 102⎛⎤⎥⎝⎦，.B 202⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，.C 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.D 212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 【自我评价答案】1.答案：如图，在21PF F ∆中，由正弦定理，则211221122211sin sin sin sin PF PF F PF F PF F PF PF F PF PF =∠∠⇒∠=∠又caF PF F PF F PF c F PF a =∠∠⇒∠=∠12211221sin sin sin sin所以2221)(cac a ac a x ex a ex a PF PF c a +-=⇒+-==，且a x a <<-，则 a cac a ac a a <+-<-22)(，解不等式得12->e 或12--<e （舍去） 又椭圆的离心率)1,0(∈e ，综上所述)1,12(-∈e .2.答案：设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x在第一象限内取点),(00y x ，由椭圆的参数方程知)20(sin cos 00πθθθ<<⎩⎨⎧==b y a x 则椭圆的内接矩形长为θcos 2a ，宽为θsin 2b ， 所以内接矩形面积为θθθ2sin 2sin cos 4ab ab =面积的取值范围为]4,3[22b b ，则22422sin 23b ab ab b ≤≤≤θ 所以22423b ab b ≤≤，即b a b 423≤≤，不等式同时平方得2221649b a b ≤≤，即)(164)(922222c a a c a -≤≤-且ace = 整理解得]23,35[∈e . 3.答案：.D 【本课总结】对于求离心率问题常常有以下办法1.直接求出c a ,，或求出a b ，代公式222211ab ac e a b a c e +==-==双曲线椭圆，求解.常见的与ab相关的一些题设条件： ①设AB 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一条弦，且),(00y x M 为弦AB 的中点，则AB 所在的直线方程的斜率0202y a x b k AB-=；②设AB 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条弦，且),(00y x M 为弦AB 的中点，则AB 所在的直线方程的斜率0202y a x b k AB=； ③双曲线的渐近线方程x a b y ±=或x ba y ±=. 2.构造关于c a ,的方程或不等式，利用离心率ace =转化成关于e 的一元方程或不等式求值或求范围.3.根据圆锥曲线的第二定义dMF e =（到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率）可以求离心率的值.4.根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到),,(0c b a x ϕ=，（0x 为曲线上的点的横坐标），再根据曲线中0x 的取值范围可求离心率的取值范围.5.对于求离心率的范围问题，其本质在曲线中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不等式即可.圆锥曲线离心率家庭作业1.若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）.A 3- .B 13- .C 3 .D 132.椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ ）A ．12 B 1 C ．4(2 D ．243.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ．4.已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）.A 23 .B 23 .C 26.D 3325.若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ） .A 43 .B 32 .C 21 .D 416.如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）.A 23 .B 26.C 23 .D 27.点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）.A 33 .B 31 .C 22.D 218.已知1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）.A 324+ .B 13- .C 213+ .D 13+ 9.设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线l 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) .A 2 .B 3 .C 2 .D 332 10.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）.A 3 .B 26 .C 36.D 3311.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。