例12已知数列
2a
｛an｝满足an1二？a1 1，求数列｛an｝的通项公式。
例13已知数列｛ an｝满足a12,a23,an23an12an(n N*)
解：其特征方程为x23x2，解得xi1,x22，令anG 1n
c 1
由aiG2®2，得1，an1 2n1
a?G 4c23 c
2
练习1.已知数列｛an｝满足a11,a22,4an 24an 1an1(n
:有时我们从递推关系an1
d中把n换成n-1有ancan1d,两式相减有
an1%C（an从而化为公比为c的等比数列
{ an 1
an｝
再利用类型⑴即可求得通项公式•我们看到此方法比较复杂
例6已知数列｛a*｝中，a11,an2an
1（n
an的通项公式。
例7已知数列｛an｝满足an
12an
4 3
1，求数列an的通项公式。
22
1 an1 nan%咼0（门=〔，?,3,..），则它的通项公式是
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
a
a)型
⑴若
c=1时，数列｛an｝为等差数列；
⑵若
d=0时，数列｛an｝为等比数列；
⑶若
0时，数列｛an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求
8
1, an 1
3an
2n，求通项an.（逐项相减法）
9.在数列｛an｝中,a1
3
,2a
2
a* 1
6n 3
，求通项an.（待定系数法）
例10
已知数列
{a*}满足an 1
2
2a
例11
已知数列
{an}满足an 2
5an16an，a11，a22，求数列｛an｝的通项公式。
六、倒数变换法
适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例2已知数列｛an｝满足an
n
an2 3
1,
ai3，求数列｛an｝的通项公式。
练习1.已知数列％
的首项为
且an1
an2n(n N)写出数列％的通项公式.
练习2•已知数列｛an｝满足a1
3an an1
^(n
2)
，求此数列的通项公式
答案：裂项求和
an2
累乘法
二、累乘法
1•适用于：an1
累乘法是最基本的二个方法之二。
待定系数法：设an
c(a
得an1
ca
1），与题设
an1can
d，比较系数得
(C
d所以
&
0）所以有:
anc(an
c 1
因此数列
an一
c
1
d
i
1为首项，以c为公比的等比数列,
所以
(ai
宀）
an(a1Leabharlann ：规律：将递推关系and
1
an 1
从而求得通项公式
°
1 c
c(a
can
d
，构造成公比为c的等比数列c1
逐项相减法（阶差法）
数列解题方法与学习顺序
第一累加法
1•适用于:
an 1anf(n)
这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2.若an1
anf(n) (n
a?a〔
a3a2
卅
an 1
f(1) f(2) III/anf(n)
2),
两边分别相加得an1
f(n)
例1已知数列｛ an｝满足an
an2n1,
ai
1，求数列｛an｝的通项公式。
2•若乩f(n)，则
an
a2
a1
f(1),鱼
a2
这是广义的等比数列
f (n)
f(2),
an
两边分别相乘得,
an 1n
a1
a-ik 1
3已知数列如，a1
4已知数列｛an｝满足an12（n
f (k)
1)5
5.设an是首项为1的正项数列，且n
三、待定系数法
求数列的通项公式。
an,印3，求数列｛an｝的通项公式。