连锁法：
若x是股票未来价格a和b的期望值，则
x pa qb
2015/11/29
10
u 3 S0
pu 3 S0 qu 2 dS 0
u 2 dS 0
pu 2 dS 0 qud 2 S 0
ud 2 S 0
pud 2 S 0 qd 3 S 0
d 3 S0
t 0
1
2
3
图4-6 列示二列的股票价格二叉树图
17
由无套利定价原则得
e S0 Sd q Su S d
r
e d q ud q 0.7564
2015/11/29
r
（4-2）
18
a x
b
图4-10 期权价格二叉树的一个分枝图
2015/11/29
19
21.12
28.1
3.9
2.81
0 0 0 28.1
21.12
15.85
2.Байду номын сангаас1
2015/11/29
38
若有一个三个月到期的回望期权，在三个月后，
期权的买方有权得到以过去三个月中最高股价来计算 的偿付。所谓回望的含义就体现在这里。应注意，为 了确定期权的到期价格，需要知道的不仅仅是股票的 最终价格，还需要知道股票过去每个时间点的价格(除 了一些极端的情况)。
2015/11/29
2015/11/29 4
一、二叉树的重新安排
股票价格 概率 乘积
u 3 S0
p3
p 3u 3 S0
u 2 S0
uS0
udS0
u 2 dS0 p 2 q p 2 qu 2 dS0 uduS0 p 2 q p 2 qu 2 dS0
2 2 pq ud S0 ud S0 pq 2 2 2 2 p qdu S0 du S 0 p q
pu qd S0
3
E S k 1 pu qd E S k
E Sk 1 pu qd S0
k
2015/11/29
（4-1）
6
u 2 S0
uS 0
S0
u 3 S0
u 2 dS 0
udS 0
dS 0
d 2 S0
ud 2 S 0
d 3 S0
（1）立即执行（在
t 2）；
（2）继续持有到下一期 t
3再执行。
策略：计算每一种方案的价值，再选择最大的。
2015/11/29
24
10.9
V
27.1
图4-14 期权二叉树的分枝图
e
2015/11/29
0.05
10.9 0.7564 27.1 0.2436 14.12
25
2
2015/11/29
48
S 1 t E S pu 1 p d 0 S t E S 1 t 0
2
p1 p u d
3
t 0
1
2
图4-3 股票价格的二叉树压缩图
2015/11/29
7
二、连锁法和期望值 连锁法（后向推导）
u 3 S0
u 2 dS 0
ud 2 S 0
d 3 S0
t 0
1
2
3
图4-４ 股票价格二叉树压缩图的最后一列
2015/11/29
8
a x
b
图4-5 股票价格二叉树的一个分枝图
2015/11/29 9
2
S 2 t E S 1 t 0
2015/11/29

47
如果随机变量 X 服从伯努利分布，则
E X pa (1 p)b D X p1 p a b
将此应用于图4-22的股价二叉树，得
2
11.4
2015/11/29
36
注意：
对K期期权定价而言，有2K条路径，当K较小时，路径计
算法在期数和路径较少的情况下是简单易行的，但当K较
大时，计算却十分困难，因为将生效的期权从失效的期 权中分离出来是很困难的。
敲出障碍期权比标准欧式期权要便宜，当障碍的设置越
接近于正常价格时，障碍期权越不可能克服日常价格波
3.9 108.9 105
0 0
t 0
1
2
3
图4-19 敲出期权价格二叉树
2015/11/29 33
第二步： 连锁法计算期权价值 障碍法则
同样的操作：运用连锁法则和贴现的方法计算出期权的价
格。
不同的操作：对于障碍(虚线)下方的节点输入值为0。
2015/11/29
34
21.12
28.1
3.9
2015/11/29
30
如何为敲出期权定价？ 第一步

画出股票、期权二叉树图
标明障碍线
2015/11/29
31
133.1
121
110 100
108.9
99 90
81
72.9
89.1
t 0
1
2
3
图4-18 设置敲出障碍的股票价格二叉树图
2015/11/29 32
28.1 133.1 105
2015/11/29 11
p pu 3 S 0 qu 2 dS 0 q pu 2 dS 0 qud 2 S 0
u 3 S0
pu 3 S0 qu 2 dS0
u 2 dS 0
X
pu 2 dS0 qud 2 S 0
ud 2 S 0
pud 2 S 0 qd 3 S 0
连锁法 立即执行值 最大输入值
10.9
27.1
图4-15 节点处不同方案值的表示法
2015/11/29 26
14.12
19 100 81
10.9
19
27.1
图4-16 美式看跌期权一个节点的完整表示
2015/11/29
27
0 0 0
0.59
0 0
0
2.74 0.59 6.22 10
2.53
希望通过股价行为中的重要因素来估计上面这些参数
漂移率、波动率
2015/11/29
44
第六节 实证数据下二叉树模型分析
p
uS0
S0
1 p
dS0
图4-22 股票价格二叉树
2015/11/29 45
第六节 实证数据下二叉树模型分析
漂移率 ：单位时间内股价的平均变化幅度。
S E 1 t S0
波动率 ：相对回报率的不确定性。
2 S 2 E 1 t t S 0
2015/11/29 46
平均相对回报率：
S S t E 1 E S0 S0
平均股价比率：
1 t
2.02
3.9
0 0 0 28.1
21.12
15.85
11.87
2.02
3.9
2.81
0 0 0
t 0
1
2
3
图4-11 完整的期权二叉树图
美式看跌期权，若：
S0 100, X 100, u 1.1, d 0.9, r 0.05
期权到期时间为
t 3
。
2015/11/29
21
133.1
121
110 100
108.9
99 90
81
72.9
89.1
t 0
1
2
3
图4-12 股票价格二叉树图
2015/11/29
22
0
0
10.9 100 89.1
27.1 100 72.9
t 0
1
2
3
图4-13 美式看跌期权价格二叉树
2015/11/29
23
如图4-14所示的分枝图，在节点处有两个选择：
p pu 2 dS0 qud 2 S0 q pud 2 S0 qd 3 S 0
t 0
d 3 S0
1
2
3
图4-7 列示三列的股票价格二叉树图
将节点输入值中的股票价格因子分离出来，则
节点输入值= 节点股票价格 pu qd
如何证明？
剩余列数
E Sk S0 pu qd
2.81
0 0 0 28.1
21.12
15.85
2.81
0
3.9
0 0 0 28.1
21.12
15.85
11.40
0
3.9
2.81
0 0 0
t 0
1
2
3
图4-20 敲出期权的节点输入值序列
作为验证：
e
0.053
E 所有路径
e
0.15
0.7564
3
28.1 2 0.7564 0.2436 3.9
133.1
121
110 100
108.9
99 90
81
72.9
89.1
t 0
1
2
3
图4-8 股票价格二叉树图
2015/11/29 16
三期的期权价格二叉树模型
28.1 133.1 105
3.9 108.9 105
0 0
t 0
1
2
3
图4-9 列示最后一列的期权价格二叉树
2015/11/29
1
0 2.74