第十二章 数项级数
证明题
1 ． 证明下列级数的收敛性 ,并求其和 :
(4) ( n 2 2 n 1 n); 2n
2. 证明:若级数
u n 发散,则 Cu n 也发散(c ≠0).
3. 证明 :若数列 {a n }收敛于 a,则级数
(a n a n 1) a 1-a .
(1)
1 1 1 (3)
1
n(n 1)(n 2)
2n 1
(5)
(5n 4)(5n 1)
1.6 6.11 11.16
(2)
4 ．证明: 若数列{b n}有lim b n ,则
n
(1)级数(b n 1 b n)发散;
1 1 1
(2)当b n≠0 时,级数
n b n 1 b1
5. 证明级数u n 收敛的充要条件是:任给正数ε ,有某自然数N, 对一切n>N 总有
|u N+u n+1+⋯+u n|< ε
6. 设u n、v n 为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N 0,有
u
n 1 v
n 1
u n v n
7. 设正项级数a n 收敛,证明级数a2n 也收敛;试问反之是否成立?
8. 设a n≥0,且数列{na n}有界，证明级数a2n收敛.
9. 设正项级数 u n 收敛,证明级数 u n u n 1 也收敛 .
(2) 若 n>N 0 时有
C n ≤0, 且 lim
1 b k
,则级数
a n
n1
10. 证明下列极限
11. 设 {a n }为递减正项数列 ,证明 :级数 a n 与
2m a 2m 同时
n1 m 0
收敛或同时发散
a
12. 设 a n >0, b n >0, C n =b n n b n+1,证明: a n 1
N 0及常数 K,当 n>N 0 时,有 C n ≥k>0,
则级数 a n 收敛 ;
n1
n
(1)
l n im (n n !)
0;
(2) lim (2n!)
n! n a
n!
0(a 1).
(1) 若存在某自然数
16. (1)
(2)
(3)
( n 1) 1x
x n ,(x 0);
n 1 x
sinnx
α ,x (0,2π0(α, 0); n
2
n
cos n ( 1)n
n
设 a n >0,a n >a n+1 (n=1,2, ⋯)且 lim a n =0, 证明级数
n
( 1)n 1
a 1 a 2
a n
是收敛的
发散 .
a
13. 设级数
a n 2 收敛 ,证明级数
n
(a n 0) 也收敛 . n
14. 设a n >0,证明数列 {(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )}与级数
a n 同时
收敛或同时发散
15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛
性:
17. 设p n|u n | u n,g n|u n | u n,证明:若u n条件收敛,则级数p n与q n 都是发散的.
二、计算题
1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)
a+r+ar 2+⋯+ar n+ ⋯(a ≠0)
的敛散性.
2. 设级数u n 与v n 都发散,试问(u n v n) 一定发散
吗?又若u n 与v n(n=1,2, ⋯)都是非负数,则能得出什么结论?
3. 求下列级数的和:
(1)
1
(a n 1)(a n)
(2) ( 1)
2n 1 n(n 1)
2n 1
4. 应用柯西准则判别下列级数的敛散
性
5. 应用比较原则判别下列级数的敛散
性
(3)
22
(n 2
1)[(n 1)2 1]
(1)
sin2n
2n
(2)
(-1)n-1n 2 2n 2 1
(3)
(-1)n ; n
(4)
(1)
(3)
(4)
1
n 2 a 2 ;
1
1 n
2
n2
1 (lnn) n
n
π
(2)
2n sin 3
n ;
(5) 1 cos1;
n
(6)
n n 1n ;
nn
(7)
a n 1 a 1n 2 ,(a 0) ; nn
(8)
(lnn 1
) lnn .
n 2
(lnn)
6. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性
(1)
n 211
(2)
n
n
2
1
(3)
n 3
nlnnln(lnn )
(4) n 3 n(lnn) p (lnlnn) q
7. 判别下列级数的敛散性 : (1) 3n n n! n
nx n 1
( 1)n 1nx n 1 ;
n
2
2n 2 n 2
(4) (n a 1),(a 1); 1 3 (2n 1) 1 (5) 2 4 2n 2n 1
8. 求下列极限 （其中 P>1）:
(1) l n im
p 1 p 1 p
n
(n 1)p (n 2)p
(2n)p
1
2n
p
(3)
1
n 2
lnn
9. 下列级数哪些是绝对收敛 , 条件收敛或发散的 :
(1) sinnx
n! (2)
(6)
n!
(x 1) (x n)
,(x 0) .
p n 2
( 1)n n n1
n
2
( 1)n sin ;
n
( 1)n l n (n 1) ; n1
n
2n 100 n ( 1)n (23n n 101
0)n ;
n!( x n
)n ;
sinnx
(0 x 2 ) ; n 1 lnn
1
( 1)n n .
列级数的乘积
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) (8)
(9)
(10) 10. 写出
(1)
( 1)n
(( 1)n
(n
n
nx n 1 ( 1)n 1nx n 1 ;
三、考研复习题
1. 证明:若正项级数
u n 收敛,且数列｛u n ｝单调,则lim u n 0. n 2. 若级数 a n 与 C n 都收敛 , 且成立不等式
a n ≤
b n ≤C n
(n=1,2, ⋯) 证明级数 b n 也收敛.若级数 a n , C n 都发散,试问
b n 一定发散吗 ?
3. 若 lim a n k 0 ,且级数
b n 收敛 ,证明级数
a n 也收 n
b n n n 敛.若上述条件中只知道
b n 收敛,能推得 a n 收敛吗 ? 4. (1) 设 u n 为正项级数 ,且 u n 1 <1, 能否断定级数 u n 收
u n
敛?
(2) 对于级数 u n 有 | u n 1 |≥1,能否断定级数
u n 不绝
(2)
u
n
对收敛,但可能条件收敛.
(3) 设u n 为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε ,使得
lim u n C 0
n1
1ε
n
5. 证明: 若级数a n 收敛, (b n 1 b n) 绝对收敛, 则级数
a n
b n也收敛.
1
6. 证明级数是发散的.
a bn
7. 讨论级数
1
p,(p>0)
n 2 n(lnn) p
的敛散性.
8. 设a n>0, 证明级数
a
n
(1 a1)(1 a2) (1 a n )
是收敛的.
9. 证明:若级数a n2与b2n 收敛,则级数a n b n 和
(a n b n )2也收敛,且
a n
b n a n2b2n
1
11
a n
b n2 2a n22 b n22
10. 证明:(1) 设a n 为正项级数,若
(2)若级数1
发散,且u n 收敛,
a n a n 1 0,
l n im u u n a n a n 1 n u n 1n n 1
0, 则正项级数u n 发散.。