19.1.1　变量与函数(第2课时)一、内容和内容解析1．内容函数的概念．2．内容解析函数是描述运动变化规律的重要数学模型，是联系方程和不等式相关知识及数与形的纽带．函数概念是中学数学的核心概念，它刻画了变化过程中两个变量之间的对应关系，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础．本章内容包括函数的概念和表示法、正比例函数、一次函数．一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型．研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤(下定义——画图象——观察图象——概括性质)和基本思想(模型思想、数形结合的思想、运动变化和对应思想)，发展数学观察、表征、抽象概括和推理能力．函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动．变量y要成为变量x的函数，需满足两个条件：(1)在同一个变化过程中，有两个变量x 和y，一个变量y随着另一个变量x的变化而变化；(2)变量y的值是由变量x的取值唯一确定的．“单值对应”是函数概念的关键词，是函数概念的核心所在．综上所述，本课教学的重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系．二、目标和目标解析1．目标(1)了解函数的概念．(2)能结合具体实例概括函数的概念．(3)在函数概念形成过程中体会运动变化与对应的思想．2．目标解析目标(1)的要求：能在具体实例(包括解析式、表格、图象呈现)中辨别变量之间的关系是否是函数关系，能举出函数的实例．目标(2)的要求：能观察运动变化的具体实例，分析变量之间的对应关系并发现其单值对应的特征，通过归纳实例中变量之间的单值对应特征概括函数的概念．目标(3)的要求：在函数概念的形成过程中，初步体会变量之间的联系，感受变化与对应的思想．三、教学问题诊断分析学生在小学阶段学习过正比例关系和反比例关系，知道具有正(反)比例关系的两个量中，一个量随着另一个量的增大而增大(减小)；在字母表示数中接触过当字母取值变化时，代数式的值随之变化．学生在生活中也具有对两个量之间存在依存关系的体验，如气温随时间的变化而变化、单价固定时总价随着数量的变化而变化．尽管这些学习经验和生活经验可以帮助学生理解函数的含义，但初次接触函数的概念，学习中还是会遇到较大困难．主要困难在于难以形成“一个变量的值的确定导致另一个变量取值的唯一确定”的概括，当一个变量的值取定时，另一个变量怎样才算“唯一确定”．学生容易认为，函数关系中的“唯一确定”指的是可以通过公式求出的唯一的值，对不能用公式求出值的“单值对应关系”难以理解．因此，本节的难点是对函数概念中的“对应”含义的理解．四、教学过程设计 (一)创设情境，提出问题引言：通过前面的学习，我们体会到万物皆变，在运动变化过程中往往蕴含着量的变化,研究变量之间的关系，是把握变化规律的关键．设计意图：通过引言教学复习上一节课所学内容，提出本课需要研究的问题，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用．(二)合作探究，形成概念1．观察思考，分析变化让我们从下列熟悉的变化过程开始研究其变化之间的变量关系．问题1　下面各题的变化过程中，各有几个变量？其中一个变量的变化是怎样影响另一个量的变化的？(1)如图1，汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h ，行驶的里程为s km ．(2)每张电影票的售价为10元，设某场电影售出x 张票，票房收入为y 元．(3)如图2，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r ，面积为S ．(4)如图3，用10 m 长的绳子围一个矩形，矩形的一边长为x ，它的邻边长为y ．师生活动：教师与学生一起分析变化过程(1)中变量之间的关系．在变化过程(1)的分析图2设计意图：追问1： s 师生活动：教师引导学生取定t 的一些值，计算对应s 的值并列表：行驶时间t /h 12345行驶里程s /h60120180240300当t 的数值取定后，s 的值有一个且只有一个．也就是说，当t 取定一个值时，s 的值由t 的值完全确定，而且唯一确定．师生活动：引导学生对变化过程(2)(3)(4)进行类似于变化过程(1)的变量关系分析，并得到如下结论：设计意图：通过师生共同讨论，分析问题1(1)中一个变量的变化对另一个变量变化的影响，在此基础上，学生独立进行问题1(2)(3)(4)变量之间对应关系的分析，为发现这些对应关系的共同特征，实现函数概念的第一次概括提供归纳的样例．2．归纳共性，初步概括问题2　能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗？试一试！师生活动：教师引导学生归纳，在一个变化过程中有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应．如由s＝60 t，当t＝1，2，3时能分别求出唯一的s的值．设计意图：对能用解析式表示的变量之间的对应关系的共同特征进行初步概括．3．观察思考，再次概括问题3　下面是我国体育代表团在第23～30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，把x y x届数和金牌数分别记作两个变量和，对于表中的每一个确定的届数，都对应着一个确y定的金牌数吗？届数x／届2324252627282930金牌数y /枚155161628325138引导学生说出年份与人口数的对应关系，体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值．设计意图：让学生感受到当一个变量取定一个值时，可以通过查表唯一确定出另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一无关属性．问题4如图4，是北京某天的气温变化图，你能说出9：00，10：00，13：00的气温吗？图4师生活动：教师在网上打开天气预报页面，引导学生阅读气温变化图，体会根据时温图可以确定气温数值，体会这也是变量之间的单值对应关系．追问1：一天中，当时间确定时，气温的数值是否也是唯一确定的？设计意图：让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，剥离“用公式表示变量关系”这一无关属性．问题5　上述实际问题中，两个变量之间的关系，当一个变量取定一个值时，既有通过公式确定另一个变量的唯一的值，又有通过对应表格确定另一变量唯一的值，还可以通过图象确定另一个变量的唯一的值．综合这些现象，你能归纳出上面所有实例中的变量之间关系的共同特点吗？请家互相讨论．师生活动：学生分组讨论，归纳出如下结论：在一个变化过程中，有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应．教师与学生一起概括出函数概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．追问：请结合问题1(2)说说函数定义中“变化”“对应”“唯一确定”的含义．师生活动：学生交流，教师引导学生进行点评，并顺势带出“函数值”的概念．如果当x＝a时，对应的y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．设计意图：在前面分步概括的基础上，概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征，形成函数概念．(三)初步辨析，了解概念1．下面是我国大陆地区人口若干年份的人口统计表，表中的人口数y是年份x的函数吗？年份x人口数y/亿198410．34198911．06199411．76199912．52201013．712．下列问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子：(1)向一水池每分注水0．1 m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化．(2)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化．(3)某汽车油箱中有油40 L，它在高速公路上行驶，耗油量为0．07 L/km，汽车行驶的里程为x km，油箱中剩下的汽油量为y L．设计意图：形成函数概念后，及时进行概念辨析．(四)综合应用，深化理解1．P是数轴上的一个动点，它所表示的实数是m，P点到坐标原点的距离为S．(1)s是m的函数吗？为什么？(2)m是s的函数吗？为什么？2．图5是一只蚂蚁在竖直的墙面上爬行的路线图，请问：(1)蚂蚁离地的高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？(2) t是h的函数吗？为什么？离起点水平距离t/cm图53．请举出一个函数的实例．师生活动：学生独立完成，教师个别指导，并引导学生进行自我评价和相互评价．设计意图：通过正反两方面的例子进一步进行函数概念辨析，深化对函数概念的理解．(五)回顾总结，反思提升通过本课学习，你对函数有什么认识？(1)请举例说明什么是函数．(2)请结合实例说说你对函数定义中“对于变量x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”的认识．设计意图：问题(1)引导学生回顾函数概念，问题(2)引导学生再次理解函数概念中的单值对应关系及确定对应关系方法(式子、表格、图象)．布置作业：教科书第81页第1～4题；举一个函数的实例．六、目标检测1．判断下列哪些变化过程中的变量之间关系是否为函数关系，如果是，指出其中的自变量和函数．(1)某超市中鸡蛋价格是9元/ kg，鸡蛋的销售收入y(单位：元)随着销售量x(单位：kg)的变化而变化；(2)把边长为10 cm的正方形纸板的四角都截去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积V(单位：cm3)随x(单位：cm)的变化而变化；(3)如图，小球沿着弯管往下滚，小球所在位置的横坐标为x(单位：m)，纵坐标为h(单位：m)，h随着x的变化而变化．设计意图：考查函数的概念．2．用关系式表示1(1)(2)中的函数，并求1(1)(2)中当自变量的值分别为1，2，3时的函数值．设计意图：考查对函数值意义的了解，是否会根据函数式求函数值．3．请举一个函数的实例．参考答案：1．(1)自变量为x，y是x的函数；(2)自变量为截去的小正方形边长x，长方体体积V 是x的函数；(3)h不是x的函数，因为当x取某些值时，对应h的值不止一个．2．(1) y＝9x，当x的值分别为1，2，3时，对应的函数值y分别为9，18，27；(2)V＝x(10－2x)2，当x的值分别为1，2，3时，对应的函数值分别为64，72，48．3．略．。