考研高数基础练习题及答案解析一、选择题：1、首先讨论间断点：1°当分母2?e?0时，x?2x2，且limf??，此为无穷间断点；2ln2x?ln2x?0?2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。
x?0?再讨论渐近线：1°如上面所讨论的，limf??，则x?x?2ln22为垂直渐近线； ln22°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。
xx当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。
2、f?|x4?x|sgn?|x|sgn?|x|。
可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：f|??|，当xi?yj时为可导点，否则为不可导点。
注意不可导点只与绝对值内的点有关。
?x,x?0?设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是? ,x?0?0x?0123limf?f?0，故f在x?0处连续。
f’?limx?0f?f?0，故f在x?0处一阶可导。
x?0当x?0时，f’????x12x’‘223?ln?lnlnxsgnx?12，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。
?23x?0ln|x|ln|x|f’’?limx?0f’?f’??，故f在x?0处不二阶可导。
x?0abx?0对?a,b?0，limxln|x|?0。
这是我们反复强调的重要结论。
3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内可积；1???sin,x?0对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，都无x?,x?0? C法满足F’?limx?011F?F1?0，故该函数不存在原函数。
另一方面，?2cosdx?1xx?0x111?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]内不可积。
0xxx011对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。
另一方面，?1arctan1dx和x??1arctan1dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。
x 对，显然该函数存在原函数。
但通过反常积分的审敛法可知尝试证明），故该函数在[?1,1]内不可积。
设f??1?1tan?x2dx发散，arctan?C??222??21?cosxsecx?12?tanx2?2??1t anxarctan?,0?x2222不妨令F?? ，那么f在[0,?]内的所有原函数0 ,x?2??1??tanxarctan,?x??2?2?2?2?为F?C，其中C为常数。
如果不采用上述“拼凑”，则不能保证 1?tanx?arctan??在[0,?]内连续，更谈不2?2?上可导。
4、对，原式??1lnxx3dx???1ylnylnyy331dy，其中?1lnxxdx和???1ylny31dy都发散，故该二重积分也发散；对，原式?发散；1?11xlnx3dx???1dy，其中?11xlnx3dx发散，故该二重积分也对，原式?lnxxe?03dx???e?1y31ydy，其中?1lnxx3dx发散，故该二重积分也发散；对，原式??11x3dx???lnyy31dy，其中?1e?1x3xdx和???lnyy31dy都收敛，故该二重积分也收敛。
1°2011智轩高等数学基础导学讲义原文：变量x和y 之间失去了“纠缠性”，可看作两个独立的一元积分相乘。
2°同济六版高等数学教材上册原文：设函数f在区间[a,??)上连续，且f?0。
如果存在常数p?1，使得limxf存在，则反常积分xp???afdx收敛；如果limxf?d?0，x或limxf，则反常积分x??afdx发散。
设函数f在区间?0，x?aq为函数f的暇点。
如果存在常数0?q?1，使得limf存在，则反常积分?fdx收敛；如果limf?d?0，或ax?a?qbx?a?limf，则反常x?b?x?b?积分?bafdx发散。
※下列反常积分收敛的是 1?0lnxdx1???11dx lnx?lnxxdx???lnxx1dx※下列反常积分发散的是 1x31x3??1lnxx32dx?lnxx 321dx??1e?x dx???e?1xdx※下列反常积分发散的是??lndxx??11sindxxx1???arctanxxdx???1?xedx x25、正确答案为。
下面进行讨论：fx’?lim则f可微。
?x?0f?ff?0，同理fy’?0，且lim?0，22?x?0?x?x??y?y?0另一方面，当x2?y2?0时，fx’?2xsin12x1，显然?cos222222x?yx?yx?ylimfx’?fx’。
同理li mfy’?fy’。
x?0y?0x?0y?0对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续；对，f在点处不可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’不连续；对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续。
以上三个选项留给大家练习。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第7章第6页原文：22??g,x?y?0快速判断f??在点是否可微的技巧如下：22?0 ,x?y?0?下列二元函数在点处可微的是1?2222x?y,x?y?0?22x?yf??? 0 ,x2?y2?0?1?22xy|sin,x?y?0?22x?yf???0 ,x2?y2?0? ?x3?y322,x?y?0?22 f??x?y? ,x2?y2?0?0??212?ex?y,x2?y2?0f???0 ,x2?y2?0?6、引用《2011年智轩考研数学红宝书》原文：?fxx’’由Hessian矩阵H???fxy’’fxy’’?的正定性决定极值的充分条件如下：fyy’’??1°H正定?fxx’’?0或fyy’’?0，且|H|?0?极小值；°H负定?fxx’’?0或fyy’’?0，且|H|?0?极大值；°H 不定?|H|?0?非极值；H不定?|H|?0，不能确定，应特别讨论。
下面逐一讨论选项：对，根据2°和3°，当f是极大值时，H只能是负定矩阵或不定矩阵，正确；对，根据1°，正确；对，根据3°的第2条，正确；对，根据3°的第1条，若fxy’’?0，则|H|??[fxy’’]?0，非极值，与已知矛盾，故入选。
由极值出发讨论Hessian矩阵时，要留意Hessian矩阵不定的情形。
※设f在P的某邻域内有二阶连续的偏导数，且记2A?fxx’’，B?fxy’’，C?fyy’’1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 limcotx?sinxx曲面z?ez?2xy?3在点处的切平面方程为1x?2u设u?esin,则在点处的值为_____________.?y?x?y?xx2y2设区域D为x?y?R,则??dxdy?_____________.abD222nTT已知??,??,设A,其中?是?的转置,则A?1123二、选择题??sinx4342设Mcosxdx,Ndx,P??2?dx,1?x2222?则N?P?M M?P?N N?M?P P?M?N二元函数f在点处两个偏导数fx?、fy?存在是f在该点连续的充分条件但非必要条件必要条件而非充分条件充分必要条件既非充分条件又非必要条件设常数??0,且级数?a收敛,则级数?n2nn?1??n?1发散条件收敛绝对收敛收敛性与?有关 limx?0atanx?bcln?d2?2,其中a2?c2?0,则必有b?4d b??4d a?4c a??4c已知向量组?1、?2、?3、?4线性无关,则向量组 ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关 ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关三、?x?cos,2dydy?设? 求、在. t?t222dxdxudu,?y?tcos??1?将函数f? 求11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数.1?x2dx?sin2x?2sinx.四、xdydz?z2dxdy计算曲面积分??,其中S是由曲面x2?y2?R2及两平面z?R,22x?y?zSz??R所围成立体表面的外侧.五、设f具有二阶连续导数,f?0,f??1,且[xy?fy]dx?[f??x2y]dy?0为一全微分方程,求f及此全微分方程的通解.六、设f在点x?0的某一领域内具有二阶连续导数,且lim x?0f?0,证明级数 x?n?1?1f绝对收敛. n七、已知点A与B的直角坐标分别为与.线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.八、设四元线性齐次方程组为??x1?x2?0,又已知某线性齐次方程组的通解为?x2?x4?0,k1?k2.求线性方程组的基础解系；问线性方程组和是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、设A为n阶非零方阵,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当A?A时,证明*T*T|A|?0.十、填空题已知A、B两个事件满足条件P?P,且P?p,则P?__________. 设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律,且X的分布律为则随机变量Z?max?X,Y?的分布律为_______.十一、已知随机变量服从二维正态分布,且X和Y分别服从正态分布N和21XYN,X与Y的相关系数?XY??,设Z??,232求Z的数学期望E和方差D；求X与Z的相关系数?XZ；问X与Z是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题1原式变形后为“续应用两次洛必达法则,有原式?lim”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连0cosxx?sinx?limcosx?lim3x?0x?0x?0xsinxx1?cosxsinx1sinx?lim?lim?lim?1) . 2x?y?4?0 所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量l,取n?l,又平面过已知点M.已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面： A?B?C?0.因点在曲面F?0上.曲面方程F?z?ez?2xy?3. 曲面在该点的法向量??F?F?F??n??,,??2y,2x,1?ez4,2,0??2?2,1,0?, ???x?y?z?故切平面方程为??0, 即x?y?4?0.?22e由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求?uu?,再求. y?x??y??uxx??2e?xcos, ?yyy?2u?2uu?x?y?y?x?x??y??2?xxecos?x? ??1yxx?2?x?2?cos?x)2?xx?2?0??2e2.多元复合函数求导法则：如果函数u??,v??都在点具有对x及对y的偏导数,函数z?f在对应点具有连续偏导数,则复合函数z?f,?)在点的两个偏导数存在,且有?z?z?u?z?v?u?vf1??f2?； ?x?u?x?v?x?x?x?z?z?u?z?v?u?vf1??f2?. ?y?u?y?v?y?y?y?4R4ab很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式??d??02?R?cos2?sin2?r??22b?a222??cos??sin2??2?rdr??0?2b??aR?3d??rdr. ??0?注意：?2?cos?dsin2?d,22?则原式???11?14?4?11??2R?R?2?2?.ab?44?ab??121321?3??21??1?n?13?23???1??11T由矩阵乘法有结合律,注意 1,,?2?3是一个数, ?23??3??1?1?2?1??11?T而 A2?1,,???21???23??3???33?2?1?3??2?, ?3?11232013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设cosx?1?xsin?,??2，当x?0时，??x?比x高阶的无穷小比x低阶的无穷小与x同阶但不等价无穷小与x等价无穷小2．已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limnf??2???1n??1-1 -３．设f???sinx,x?[0,?)?2,x?[?,2?]，F??x0fdt则x??为F的跳跃间断点． x??为F的可去间断点．4）F在x??连续但不可导． F在x??可导．1?,1?x?e1４．设函数f??，且反常积分?f?x?dx收敛，则?1,x?e??xln??1xa??2?a?00５．设函数z?yx?z?zf?xy?，其中f可微，则?? xy?x?y22f?f xx6．设Dk是圆域D?|x2?y2?1的第k象限的部分，记Ikdxdy，则2yf’ ?2yf’??DkI1?0I2?0I3?0I4?0．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．矩阵C 的列向量组与矩阵A的列向量组等价．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．?1a1??2008．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是?1a1??000a?0,b? a?0，b为任意常数 a?2,b?0 a?2，b为任意常数二、填空题9． lim?2??x?0?ln??? x?1x10．设函数f??x?1?etdt，则y?f的反函数x?f?1在y?0处的导数5。