第1章 常用逻辑用语(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．2．设a ∈R ，则a >1是1a<1的________条件． 3．与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是________．(填序号)①若x ∉A ，则y ∉A ；②若y ∉A ，则x ∈A ；③若x ∉A ，则y ∈A ；④若y ∈A ，则x ∉A .4．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：①我们班学生不都是团员；②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员． 正确答案的序号是________．5．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．(填序号)6．下列命题是真命题的为________．(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ； ②若x 2＝1，则x ＝1；③若x ＝y ，则x ＝y ；④若x <y ，则x 2<y 2.7．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是______．(填序号)①若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1；②若－1＜x ＜1，则x 2＜1；③若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1；④若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.8．下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．9．设x，y∈R，命题p：|x－y|<1，命题q：|x－y|≤1，则p是q的______________条件．10．下列四个命题中①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；③函数y＝x2＋4x2＋3的最小值为2.其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)11．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题其中正确的是________．(填序号)12．设A、B为两个集合，下列四个命题：①A⊆B⇔对任意x∈A，有x∉B；②A⊆B⇔A∩B＝∅；③A⊆B⇔A⊉B；④A⊆B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是________(把符合要求的命题的序号都填上)．13．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的__________条件．14．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)(1)当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形，请写出“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题．16．(14分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．17.(14分)设α、β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析“a>2且b>1”是“两根都大于1”的什么条件？18．(16分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．19.(16分)已知c>0，c≠1，设命题p：函数y＝c x在R上单调递减，命题q：不等式x2－2x＋c>0的解集为R.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．20．(16分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．单元检测卷答案解析第1章 常用逻辑用语(A )1．2解析 原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．2．充分不必要解析 ∵a>1⇒1a <1；1a<1⇒a>1或a<0 a>1， ∴是充分不必要条件．3．④解析 原命题与它的逆否命题为等价命题．故④正确．4．①②5．②③解析 因p 为假命题，q 为真命题，故綈p 真，綈q 假；所以p ∧q 假，p ∧綈q 假，綈p ∨q 真，綈p ∨綈q 真．6．①解析 由1x ＝1y得x ＝y ，①正确，②、③、④错误． 7．④解析 因“－1<x<1”的否定为“x ≥1，或x ≤－1”；“x 2<1”的否定为“x 2≥1”．又因“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”，故④正确．8．④9．充分不必要解析 由命题p 可以推出命题q ，而由命题q 不能推出命题p.10．①②③解析 ①“k ＝1”可以推出“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”，但是函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π，即y ＝cos 2kx ，T ＝2π|2k|＝π，k ＝±1. ②“a ＝3”不能推出“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”，反之垂直推出a ＝25； ③函数y ＝x 2＋4x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3，令x 2＋3＝t ，t ≥3，y min ＝3＋13＝433. 11．①②③④解析 易知命题p 为真，命题q 也为真命题，所以p ∧q 为真，故①正确；由于p 真綈q 假，故p ∧綈q 为假，所以②正确；由于綈p 假q 真，故綈p ∨q 为真，所以③为正确；由于綈p ，綈q 都是假命题．故綈p ∨綈q 也为假命题，所以④正确．12．④解析 ∵A ⊆B ，∴有两种可能：(1)A ∩B ≠∅；(2)A ∩B ＝∅.∴①②③都不对，只有④对．13．必要不充分解析 q ⇒p ，p ⇒q.14．[－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立； 当a ≠0时，由⎩⎨⎧a<0Δ＝4a 2＋12a ≤0得－3≤a<0； ∴－3≤a ≤0.15．解 (1)逆命题：当c<0时，若a<b ，则ac>bc(真命题)否命题：当c<0时，若ac ≤bc ，则a ≥b(真命题)逆否命题：当c<0时，若a ≥b ，则ac ≤bc(真命题)．(2)p 或q ：对角线互相垂直的四边形或对角线互相平分的四边形是菱形．p 且q ：对角线互相垂直的四边形且对角线互相平分的四边形是菱形．非p ：对角线互相垂直的四边形不是菱形．16．解 方法一 (直接法)逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a<1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.∵a<1，∴4a －7<0.即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．方法二 (先判断原命题的真假)∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∵a ≥74>1， ∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．方法三 (利用集合的包含关系求解)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集． 命题q ：a ≥1.∴p ：A ＝{a|关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥74， q ：B ＝{a|a ≥1}．∵A ⊆B ，∴“若p ，则q ”为真，∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真． 即原命题的逆否命题为真．17．解 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＝a αβ＝b ，判定的条件是p ：⎩⎨⎧ a>2b>1，结论是q ：⎩⎨⎧α>1β>1(Δ≥0)．①由α>1且β>1⇒a ＝α＋β>2，b ＝αβ>1⇒a>2且b>1，故q ⇒p.②取α＝4，β＝12，则满足a ＝α＋β＝4＋12>2，b ＝αβ＝4×12＝2>1，但pD ⇒/q. 综上所述，“a>2且b>1”是α>1且β>1的必要不充分条件．18．解 令f(x)＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0－2k －12>1f (1)>0，即k<－2.所以其充要条件为k<－2.19．解 ∵y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1，命题p ：0<c <1.∵不等式x 2－2x ＋c >0的解集为R ，∴Δ＝(－2)2－4c <0，c >12， ∴命题q ：c >12. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与命题q 恰好一真一假，∴p 为真q 为假，或p 为假q 为真，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1c ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧c ≤0或c ≥1c >12，解得 0<c ≤12或c ≥1. 综上可知，实数c 的取值范围是(1，12]∪[1，＋∞)． 20．解 假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎨⎧ －32<a <12a >13，或a <－1，－2<a <0得－32<a <－1. ∴所求实数a 的范围是a ≤－32或a ≥－1.。