第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined
Integral and Direct Integral）
课题：1.不定积分的基本公式
2.不定积分的直接积分法
课堂类型：讲授
教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。

教学重点：不定积分的基本公式
教学难点: 直接积分法
教具：多媒体课件
教学方法：
教学内容：
一、不定积分的基本公式
由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。

二、不定积分的直接积分法 利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。

例１ 求32x dx ⎰ 解
3
3
3
222x dx x dx x dx
==⎰⎰⎰ 例
２
求
(2
3cos x
x dx
-+⎰ 解
(
2
3cos 3
x
x dx x
-+===⎰
导数的基本公式
(
)1222()01
()1()()ln 1
(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1
(arctan )1(arccos )1
(cot )1x x
x x C x x x e e a a a
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='=
'='=-'='=-'='=-'=
'=
+'='=-
+21
(log )ln a x x x a
'=
不定积分的基本公式
(
)
1
22
2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x
x
x
dx C dx x C
x x dx C a e dx e
C
a a dx C a dx
x C
x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C
x C
dx
x C x
αα
α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11
log ln a x C dx
x C x dx x C
x a =-+=-++=+⎰⎰
例３ 求dx x x ⎰-2
3
)1( 解
C
x
x x x C
x x dx
x
x x dx x x x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1
||ln 332 310
72 )1
33( 1
33)1(223
2722
2323 例４ 求22
1
sin cos dx x x
⎰ 解
22222222221sin cos 11
sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C
+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
例５ 求2x x e dx ⎰
解 ()
()()
2222ln 21ln 2
x
x
x
x x
e e e dx e dx C C e
==
+=
++⎰⎰
例６ 求2
sin 2
x
dx ⎰
解 2
1cos sin 22
x x
-=
2
1cos 11sin
sin 2222
x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()
221dx
x x +⎰
解
()
2222
111
11x x x x =-++ ()22222211
1111111
arctan dx dx dx dx x x x x x x x C
x
⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭
=--+⎰⎰⎰⎰
例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。

解 设物体的运动方程为()x x t =
于是有 ()221x t v t '==+
()()232
213
x t t dt t t C =+=++⎰
由已知条件1t s =时，3x m =，代入上式得
2431,33
C C =++=即
所以物体的运动方程为()324
33
x t t t =++。