可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
8
通项公式:
Tk 1 C8k
1 2k
163k
x4
k=0,1,2…,8
TK+1为有理项，16-3k是4的倍数，∴k=0,4,8, 有理项有三项，依次为:T1=x4,T5=35x/8,T9=1/256x2
例5. 已知(
x
－
2 x2
)
n
(n∈N)的展开式
中第五项的系数与第三项的系数的
比为10:1。
(1) 求展开式各项系数的和；
一．利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些 特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项 等问题。在这里要分清
①二项展开式中的各项的“二项式系数”与“系数” 的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指 Cn0、Cn1、…Cnr…Cnn这些组合数而言，不包括字母a、 b所表示式子中的系数。
②通项Cnkan-kbk是展开式中的第k+1项，而不是第k项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开 式各项系数的和
解：∵( x －x22 )n展开式中的通项为 Tk+1=Cnk( x )n－k(－x22 )k=(－2)kCnk( x )n－5k
∴T5=T4+1=24Cn4x
n 2
－10
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
cn0an c1nan1b cnranrbr
cnnbn
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
叫做二项展开式的通项,
a b n cn0a
(a-b)n
an Cn1an1b Cn2a b n1 2 ... (1)n Cnk ankbk ... (1)n bn
(1+x)n
=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn
4. 扬辉三角：
例1：求(1-2x)7的展开式中 , 第四项的二 项式系数和第四项的系数。
解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为 T4=C73(-2x)3=-280x3,
第四项的二项式系数是C73=35； 第四项的系数是C73(-2)3=-280 .
注意某项的二项式系数和项的系数的区别。
例2：求
x
1 x
成等差数列，求展开式中的所有有理项。
解：二项展开式的通项公式是:
Tk 1 Cnk (
x )nk ( 1 )k 24 x
Cnk
1 2k
2 n 3k
x4
前三项的r=0,1,2，
得系数为:t1=1, t2=
1 2
Cn1
1n 2
,t3=
1 4
Cn2
1 n(n 1) 8
由已知得:t1+t3=2t2,
1+ 1 n(n 1) n, 得n=8.
1 0.030 0.970
则0.997 10 0.970 .
n
例4：在二项式
x
1 24 x
的展开中式，
前三项系数成等差数列，求展开式中所 有的有理项。
分析：本例是典型的特定项的问题， 涉及到前三项和有理项，可以用通 项公式来解决。
n
例4：在二项式
x
2
1
4
x
的展开中式，前三项系数
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
3
(2) 根据通项公式先出求含x2 的项是展开 式中的第几项，然后把它代入通项公式。
(3) 这个二项展开式在奇数项系数是正的， 偶数项系是负的，所以只须考虑系数的绝 对值最大。
9
的展开式中x3的系数。
解：展开式的通项是
Tr1
C9r x9r
1 x
r
1
r
.
C9r x92r
根据题意，得 9 – 2r = 3 r = 3
因此，x3的系数是13 C93 84
注意：展开式中第 r + 1 项的二项式 系数 与第 r + 1项的系数不同。
在实际应用过程中，a bn这个公式很有作用，我们
T3=T2+1=22Cn2x
n 2
－5
∴第五项的系数与第三项的系数分别为
24Cn4、22Cn2;
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开 式各项系数的和
由题意得：24Cn4∶22Cn2=10∶1
∴n2－5n－24=0；
解得 n=8 或 n=－3 (舍)。