12019全国各地中考数学考试真题及答案一、函数与几何综合的压轴题1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1)求证：E 点在y 轴上；(2)如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3)如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO ABDBCDDB又∵DO ′＋BO ′＝DB ∴1EO EO ABDC图①C （1，-A（2，- BDOxEy图②CA（2，-BDOxE ′y2∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2又∵DO EO DBAB，∴2316EO DODBAB∴DO ′＝DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y=2x-2①再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ②联立①②得02x y ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y=ax 2+bx+c(a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）E （0，-2）三点，得方程组42632a b ca b c c解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y=-x 2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同（1）可得：1E F E F ABDC得：E ′F=2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB ，∴13DFDBS △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122223DCDBDC DF DC DB=13DC DB =DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式3方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′1132322BDE Fkk∴S =3+k 为所求函数解析式.证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′＝DC ∶AB =1∶２同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶４∴2213992AE CABCDSS AB CD BD k梯形∴S =3+k 为所求函数解析式.2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点 B.探究：直线AB 是否⊙Ｍ的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙Ｍ面积为S 2，若421h S S ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt △AOM 中，AO ＝122OMAM，∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1∴y ＝x＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0），AB ＝2112222AOBO在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝24222224)2()2(BMAMAB∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90°∴直线AB 是⊙Ｍ的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，∴BC ＝10)22()2(2222ACAB∵∠BAC ＝90°∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，∴25)210()2(221BC S 而2)222()2(222AC S 421h S S ，5,4225h h 即 设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：y ＝a （＋1）（x －1），（a ≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±５∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5解法二：（接上）求得∴h ＝5由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±５又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a ±5＝0，a ＝±５∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5 因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）ABCDxM·y5由已知得5055c0b 5544002cba a ab ac c b a cb a 或 ＝－ 解得　∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.3.(2018湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙Ｐ上. (1)求⊙Ｐ上劣弧⌒AB 的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.[解]（1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥ｘ轴，垂足为M.在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120°⌒AB 的长＝342180120（2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0），由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，则C(1，－3).点A 、B 、C 在抛物线上，则ABCOxy ·P （1，－ABCOxyP （1，－·M6cbacb ac b a 3)31()31(0)31()31(022解之得221cba抛物线解析式为222x xy （3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.又PC ∥ｙ轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）. 又点D （0，－2）在抛物线222x xy 上，故存在点D （0，－2），使线段OC 与PD 互相平分.4.（2018湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0，3）在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q .（1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.[解] (1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴△AOC ≌△COB . ∴OC 2＝OA ·OB . ∵OA ∶OB ＝3∶1,C (0,3),∴2(3)3.OB OB Ay xBEFO 1QO O 2C EFQy2 13 4MC7∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).设抛物线的解析式为2.yaxbx c 则930,0,3.a b c a b cc解之，得3,323,33.ab c∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2323 3.33yxx (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切. 证明：连结O 1E 、OE 、OF . ∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°，∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA , ∴△CMN ∽△CAO . ∴.MN CN AOCO∴3.33a a8XOPD CAB Y 解之，得333.2a此时，四边形OPMN 是正方形. ∴333.2MNOP ∴333(,0).2P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形，∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形.故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且333(,0)2P 或(0,0).P 5.（2018湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点．(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)[解]（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=21x +1.将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=823，右边=21×415+1=823，∵左边=右边，∴点E 在直线y=21x +1上，即点A 、C 、E9由方程组y=ax 2—6ax +121得：ax 2—（6a +21）x =0在一条直线上.（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax 2+b x +c 的顶点P 的纵坐标为a b a 442—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1＜ab a 442—＜3，由1＜1—ab42得—ab42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.（3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴21GO ·AO —21FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a1＜0，∴x 1＜0＜x 2，∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6，即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —ab∴—ab =6，∴b= —6a ,∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部，∴1＜1—9a ＜3, ∴—92＜a ＜0.∴x=0或x=aa216=6+a21.当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有：0＜6+a21≤415，解得：—92≤a ＜—121XGFO PD ECAB Y10综合得：—92＜a ＜—121∵b= —6a ，∴21＜b ＜346.（2018湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙Ａ过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙Ａ被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙Ａ切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙Ａ的半径；（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过l 上一点P 的直线与⊙Ａ交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式. [解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90o 再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙Ａ的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx任取l 上一点(b ，kb)，由l 与y 轴夹角为45o 可得：b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1，∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x又由r ＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x ……６分(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0)过P 作PP ′⊥x 轴于P ′，∴OP ′＝|m|，PP ′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，又由切割线定理可得：OP 2＝PC ·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP ′７分∴Ｃ与P ′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…８分同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2) (4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵Ｐ与点O 、点C 不重合，∴m ≠０且m ≠2，当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ，∴S ＝22(2)()22m m mm同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；xy11∴S ＝222(02)2(02)mm mmm m m或又若C(－2，0)，此时l 为y ＝x ，同理可得；S ＝222(20)2(20)mm m m mm m或7.（2018江苏连云港）如图，直线4kxy 与函数)0,0(mx xm y的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．（1）若COD 的面积是AOB 的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x )，由AOBCODSS 2，得)(2BODAODCODSSS∴21·OC ·2OD(21·OD ·1y 21·OD ·2y )，)(221y y OC，又4OC ，∴8)(221y y ，即84)(21221y y y y ，由xm y可得ymx，代入4kxy 可得042kmyy①OPDC B AA A12∴421y y ，km y y 21，∴8416km ，即mk 2．又方程①的判别式08416km ，∴所求的函数关系式为m k2)0(m．（2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．则BP AP ，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ．∵MAP 与BPN 都与APM 互余，∴MAP BPN ．∴Rt MAP ∽Rt NPB ，∴NB MPPNAM．∴212122y x x y ，∴0)2)(2(2121y y x x ，∴0)2)(2(2121y y y m y m ，即0)(4)(222121212y y y y y y m m ②由（1）知421y y ，221y y ，代入②得01282m m ，∴2m或6，又mk2，∴12km 或316k m，∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且12km 或316k m．8.（2018江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)ymxm x m与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x ，与y 轴交于点C ，且AB =6.（1）求抛物线和直线BC 的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC .（3）若P 过A 、B 、C 三点，求P 的半径.（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x 轴于点N ，使MBN 被直线BC 分成面积比为13的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. [解]（1）由题意得：12122155,, 6.m x x x x x x mm N MO PDC BA13xyO解得1251,.7m m 经检验m =1，∴抛物线的解析式为：24 5.yxx 或：由2(5)50mxm x 得，1x 或5x m0,m >516,1.mm抛物线的解析式为24 5.yxx 由2450xx 得125, 1.x x ∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kxb 则5,5,0.5.b b k b k∴直线BC 的解析式为5 5.y x(2)图象略.（3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC 90BPC . 又2226,BC OBOC∴P 的半径22613.2PB法二：221212520()436,36,m x x x x mm14由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线245yxx 的对称轴直线2x 上，设P （－2，－h ）（h ＞0），连结PB 、PC ，则222222(12),(5)2PB h PC h ，由22PBPC ，即2222(12)(5)2hh ，解得h=2. (2,2),P P 的半径22(12)213PB.法三：延长CP 交P 于点F . CF 为P 的直径，90.CAFCOB又,.ABC AFC ACF OCB D ~D ,.CF AC AC BC CFBCOCOC又225552,AC225,5126,COBC 5226213.5CFP 的半径为13.（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t则点E 的坐标为(,55).t t 若13,MEB ENBS S D D ::则13.ME EN::2434,45(55).3EN MNt t t::解得11t （不合题意舍去），25,3t 540,.39M若31,MEB ENBS S D D ::则31.ME EN::214,454(55).EN MNt t t ::解得31t （不合题意舍去），415,t 15,280.M15存在点M ，点M 的坐标为540,39或（15，280）. 9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为 3.(1)若抛物线m xxy 22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标.(2)求直线DF 的解析式.(3)是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，∴11)3(m ，m =3.∴抛物线为322xxy.又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点.∴D 点坐标为)41(，. (2) 由题意知：AB =4.∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ，∴NC ×4=2×2. ∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(，.设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.（第9题图）AyxONM GFEDC∵GC 、GF 是切线，∴GC =GF . ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8. ∴P 点坐标为)17(，设直线DF 的解析式为bkxy则174bkb k 解得82785bk∴直线DF 的解析式为：82785xy(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y ，则1311b k ，∴1311k b .由方程组3213211xx y k x k y 得034)2(112k xk x由题意得421k ，∴61k .当61k 时，040，∴方程无实数根，方程组无实数解.∴满足条件的直线不存在.10.（2018山西）已知二次函数212yxbx c 的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；FAyx ONM GEDC P 123 4（2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.[解]（1）解：∵二次函数212yxbx c 的图象过点A （－3，6），B（－1，0）得9362102b cbc 解得132bc∴这个二次函数的解析式为：21322y xx由解析式可求P （1，－2），C （3，0）画出二次函数的图像（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC∴DC PC BCAC 易求62,22,4ACPC BC∴43DC∴45333OD ∴5,03D 解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为 E. 设抛物线的对称轴交x 轴于F.亦可证△AEB ∽△PFD 、∴PE EB PFFD .易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2∴23FD∴25133OD∴5,03D（3）存在.xOy18（1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心，∴MG ＝MH ＝OM 又∵2MC OM 且OM ＋MC ＝OC∴23,323OMOM OM得∴323,0M （2°）在x 轴的负半轴上，存在一点M ′同理OM ′＋OC ＝M ′C ，2OM OCOM得323OM∴M ′323,0即在x 轴上存在满足条件的两个点.M ′T11 -1 -24 -323 0 5 6 E-1 -22 3C xyBD MF SG HP19AB CMOxy11.（2018浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）.（1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥ｘ轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.[解]（1）322x xy ，顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3），即y ＝ax 2－2ax －3a ，∴ A （－1，0），B （3，0），C （0，－3a ），M （1，－4a ），∴ S△ACB＝21×4×a 3＝6a ，而a ＞0，∴ S△ACB＝6A 、作MD ⊥ｘ轴于D ，又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝21·1·3a ＋21（3a ＋4a ）－21·2·4a ＝a ，∴ S△ACM：S △ACB ＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ，有菱形可知k a ＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0，∴ k ＝2a ，20∴ y ＝ax 2－2ax ＋2a ，∴ 2EF .记l 与x 轴交点为D ，若∠PEM ＝60°，则∠FEM ＝30°，MD ＝DE ·tan30°＝66，∴ k ＝－66，a ＝36，∴ 抛物线的解析式为666326312x xy .若∠PEM ＝120°，则∠FEM ＝60°，MD ＝DE ·tan60°＝26，∴ k ＝－26，a ＝6，∴ 抛物线的解析式为266262x xy .②当抛物线开口向下时，同理可得666326312xxy，266262xxy .12.（2018北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y axbxc 2经过O 、A 两点。