O 在 式中令y '=o得x = — l,x = l.
当x 分别取 — 1和1时 ，由x3 +y 3 -3x+3y — 2 = 0得 y ( —1) = O,y (1) =1.
将x = — l,y ( —l) = O 及 y '(-1) = 0代入＠式得 y" ( —1) = 2.
因为y'c -1) =o,y"c -1)>o,所以y ( — 1) = 0是 y (x)的极小值．
2017年（数 一）真题答案解析
一、选择题
Cl) A
l —cos石 解由f(x) = { ax'
b'
x>O
＇在
x
=
O
处连续
，
得limf(x) x一o+
=
b.
x�O
l — cos石
x
又limf(x)= lim-
= lim
=上 =b.
x-o +
_,. •ll I
ax
ce�千o + 2ax 2a
所以ab = —2 ．故应选 A.
xn
=l
X +x·
所以，S(x )
=(1
X +x)
1
1 =o三） 2
,x
E
C — 1,1).
故应填 Cl+x)
2
·
03) 2
解 (Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = ACa 1 ,a z ,a 3 ),因为a 1 ,a z ,a 3 线性无关，故矩阵(a 1 心心）可逆， 所以，r(Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = r(A),易知，r(A) = 2. 故应填2. (14) 2
PCB IA) = P(凡
1 —P(A)
1 -P (A)
P(B)[l —P(A)]
1-P(A)
= P(B).
故 P(B IA)>P(B IA).故应选 A.
(8) B
解 因为 X; ,__,N (µ , 1), 所以X厂 µ ,__,N(O,l),
畔(X; —卢～农 (n)' 故A正确；
n
因为(n-12 )5
J t = 10时，s1Ct)-s2Ct) = 厂压 (t) — V 2 (t) dt = lO.
『 15 < t < 20时 ， 1·I (t) —Sz(t) = I: 压(t) — v2(t)]dt = 10+ :0[v 1 (t) ::_ v 2 (t)]dt 『25 — > 10+ 10 [V 1 Ct) v 2 (t)]dt = 10 — 20 = --10.
(10) e-xcc 1 cos迈x+C 2 sin迈x)
解 微分方程的特征方程为
r2 +2r+3 = o.
特征根为九 ,2 = — 1士拉i. 因此，原方程的通解为 e—x cc 1 cos迈-x+ C 2 sin立丘）． 故应填 e-x CC1 cos 迈-x+C闷n 迈-x).
(ll) -1
— ay
J'(c)=O. 令F(x) = f(x)J'(x),由题设知F(x)在区间[O,b]上可导 ，且
F(O)=O,F(c) = O,F(b) =O.
根据罗尔定理，存在狂E(O,c),r;E(c,b),使得F'(�) = F勺） = O,
即�. 刀是方程f(x)广(x)+CJ'(x))2 = O在区间co'1)内的两个不同实根．
2
=
�(X;- X)
;-1
1
2
～农
(n-1 ),
扛 因为灭�N(µ n
所以X1-µ �N(0,1),
五
故 C 正确；
则 n (又—µ) z �x气1)'故 D 正确．
对于 B 选项： X n -X i �N(0,2),
( z ) ,__,x 则 X — X1 n
�N(0,1), 所以
趴—X 1
2
气1) 从而 B 错误．
M
= JI9妇+
2
y
+z2 dS.
又S在xOy 面上的投影区域为D = {(x , y ) lx 2 + y 2 ::(2x}, 所以
( ）（ ,-) M = 9Jf 互x三万 l+
X
2
+
y
D
J 立了
厂
dxdy
厂 = 13ff
dxdy
叫厂 =18J�f
,or• rdr
= 48J i �cos3 0d0 = 64.
不妨设入I =-3,入2 = 6,儿=O.
矩阵A属于特征值入1 = — 3的单位特征向量为/J 1= -(1 ,-l,l)气 忒
1 属于特征值,lz = 6的单位特征向量为P 2= -c — 1 ,0,1 )气
迈
1 属于特征值儿 = O的单位特征向量为p 3 = -( 1 ,2,1 )气
顶
1
忒
—1
故所求的 一个正交矩阵为Q = CP1 ,P 2,P 3 )= j -
将 x = l, y (l)=l及 y '(l) = O代入＠式得 y " (1) = —1.
因为y' (I) = o,y" (1)<o,所以 y (l) = l是 y (x)的极大值．
f(x)
(18)解 C I) 由题设知 f(x)连续且xl-imo+ X 存在， 所以f(O) =O.
j(.r)
J(a)
(7) A
解 因为p (A IB)>P(A I五），
所以
P(AB) P(B)
P(A 五） P(A) —P(AB)
=
p (B)
1-P(B) '
则 P(AB)>P(A)P(B).
而
PCB
I
A)
=
P(AB) P(A)
P(A)P(B) > P(A)
=P(B),
P(B A) P(B) —P(AB) P(B)-P(A)P(B)
戎
故应选 B.
二、填空题
(9) O
解
根据
f
(x)
=
1
I+x
2
的幕级数展开式求解
卢） =
1
= 2=�(- l) n丘=�
I+x
一11 0
n =O
J<n)(O)
n ! x",(lxl<D.
故有 /'"'(O)�r-1) 号n ! , n 为偶数，
O,
n 为奇数
o. 所以 1 <3) (0) =O. 故应填
(20)解 C I) 由a严a1 +Za 2 ,知a1 ,a2 ,a 3 线性相关 ， 故r(A)�2.
又因为A有3个不同的特征值，所以 A至少有2个不为零的特征值，从而r(A) ?::2. 故r(A)= 2.
1 <lI)由a, +2a,- ,-o,知A(�J-o,故(�J为方程组Ax-0的 一个解．
。 t = 25时，.I'I Ct) — .I' 2 (t) =厂压 (t)- V 2 (t)]dt
o
s
=f 0
压(t)
—
V
2
(t)] dt +
r 10
压(t)
-叭t)]dt
= 10 — 20 =-10.
f。 [ t > 2 5 时， S 1 (t) - S 2 (t) = V 1 (t) - V 2 (t) ]dt
:
u 又r(A)-2,所以[�』为 FO的 个基础解系．
:
/
J所以
为方程组Ax-/1的 一个特解．
1
故Ax-/1的通解为x+JH(2 ,其中k为任意常数
1
(21 )解二次型J的
矩阵 �
-4
2
J
A-[ I -1 1 .
』 由题设知IAI�一。：又I�l-6"_ a,于是a-2.
1 矩阵A的特征多项式为 入E-AI = 入（入十3)(入-6)'所以特征值为一 3,6,o.
aP aQ
oy ax·
- 2ax-y
-'故 a =— 1.
解 令 S(:r) = �(— u n-1 nx n-i ,x E ( — 1,1).
＂二l
J: ］ 『。 则 S(x)dx =『：心(— l)n-lnxn—1 dx =�(- l) n—1 nx n-ldx 11-I
=�(—
n -1
l)n-1
故应选A.
(6) B
解 因为A和B都是上三角矩阵，所以特征值都是1,2,2. 所以，要判别 A 和B 能否相似对角化，只需考察属于 2 的线性无关的特征向量的个数即可． 对于 A,属于 2 的线性无关的特征向量的个数 3-r(2E —A)=3-l= 2. 对于 B,属于 2 的线性尤关的特征向量的个数 3-r(2E —B)=3 — 2=1. 所以，A 可以和 C 相似，但是 B 不能． 故应选B.
(2) C
解由f(父:)f'(x)>o,可得2f(x)J'(x) >o, 即［尸(x)]'>o.
因此尸 (x)严格单增 ， 故有IJCx)I严格单增 ， 所以有厅Cl)l>IJC — DI. 故应选 C.
(3) D
解向量n= (l,2,2)的方向余弦为：
1
2
2
cosa = —,cos/J = -,cosy = -.
d—y = dx