（5） f (x) sin x ( x ) ；
（6） f (x) x cos x ( x ) ；
（7）
f
(x)
x,
0 ,
x 0, 0 x；
（8） f (x) 2 x 2 ( x ) ；
（9） f (x) sgn cos x ；
（10） f (x) x (0 x 2 ) ． 2
2
6 k2
)
，k
1,
2,，
所以，
f
(x)
x3
～
n1
2 n
(1)n1 (
2
6 n2
) sin
nx
( x ) ．
（3） f (x) 是偶函数，故 bn 0 ， n 1, 2 , ．
a0
1
cos
x 2
dx
4
，
an
1
cos
x 2
cos nxdx
(1) n1 4 (4n2 1)
0
0
[0 , ] 上的正交系．
2． 求下列周期为 2 的函数的 Fourier 级数：
n
（1）三角多项式 Pn (x) (ai cos ix bi sin ix) ； i 1
（2） f (x) x3 ( x ) ； （3） f (x) cos x ；
2 （4） f (x) eax ( x ) ；
证明 （1） m , n N , m n ，有
sin mx sin nxdx 1
[cos(m n)x cos(m n)x]dx
0
20
1 2
[
m
1
n
sin(m
n)
x
0
m
1
n
sin(m
n)
x
0
]
0Leabharlann ，所以， sin x , sin 2x ,, sin nx , 是[0 , ] 上的正交系．
（2） k , n N , k n ，有
2
sin(2k
1)x sin(2n
1) xdx
1
2 [cos 2(k n)x cos 2(k n 1)x]dx
0
20
1[
1
sin 2(k n)x 2
1
sin 2(k n 1)x 2 ] 0 ，
2 2(k n)
0 2(k n 1)
(x)
sin
x
～2
1
cos
x
2
n2
(1) n n2
1
1
1
cos
nx
．
( x )
（6） f (x) 是奇函数，故 an 0 ， n 0 , 1, 2 , ，
bn
2
x cos x sin nxdx
0
1
0
x[sin(
n
1) x
sin(
n
1) x ]dx
2
1 2 (
可得三角多项式 Pn (x) 的 Fourier 级数为
Pn
(
x)
～
0 2
( k
k 1
cos kx
k
sin kx)
a0
n
(ak
k 1
cos kx bk
sin kx) ．
（2） ak
1
x3 cos kxdx 0 ， k 0 , 1, 2 , ，
bk
1
x3
sin
kxdx
2 k
(1)k1 (
解 （1）利用三角函数系的正交性，极易得到
0
1
Pn (x)dx
1
a0
2
2a0 ，
k
1
1 Pn (x) cos kxdx
0 ,
ak cos 2 kxdx ak ,
0 k n, k n,
k
1
Pn (x) cos kxdx
1 0 ,
bk
sin 2
kxdx
bk
,
0 k n, k n,
(1) k a2 k2
(a cos kx
k
sin kx)
,
a
0
,
1 ,
a 0．
（5） f (x) 是偶函数，故 bn 0 ， n 1, 2 , ，
a0
2
0
sin
xdx
4
，
an
2
0
sin
x
cos
nxdx
1
,
2[(1) n1
(n2 1)
1]
,
n 1, n 1,
所以，
f
sin(m
n)
x
0
]
0
，
又， n N ，有
cos nxdx
0
1 n
sin
nx
0
0，
故1, cos x , cos 2x ,, cos nx , 是[0, ] 上的正交系．
（ 4 ） 因 为
sin xdx
cos x
2 0 ， 因 此 1, sin x , sin 2x ,, sin nx , 不 是
，
bn
1
f
(x)
sin
nxdx
1
0
x sin nxdx (1)n1 ， n
因此，
f
(x)
x 0
, ,
0
x x
0,～
4
n1
(
(1)n n 2
1
cos
nx
(1) n1 n
sin
nx) ．
（8） f (x) 为偶函数，故 bn 0 ， n 1, 2 , ，
, 1)
n
n
n 2 1
n 1, ,n 2,
n 1, 2, ．
所以，
f
(x)
x cos
x
～
1 2
sin
x
2
n2
(1)n n n2 1
sin
nx
．
(
x )
（7） a0
1
f (x)dx
1
0
xdx ， 2
an
1
f
(x) cos nxdx
1
0
x
cos
nxdx
(1)n 1 n 2
， n 1, 2, ，
因此，
f
(x)
cos
x 2
2
～
4
n1
(1) 4n 2
n1
1
cos
nx
．
（4） a0
1
f
( x)dx
1
e ax dx
2 a
(e a
2 ,
ea ) ,
a0, a0,
ak
1
f (x) cos kxdx
1
e ax
cos kxdx
(1)k a
(a
第十四章 傅里叶级数
§1 三角级数与傅里叶级数
1． 证明：
(1) sin x , sin 2x ,, sin nx , 是[0 , ] 上的正交系； （2） sin x , sin 3x ,, sin(2n 1)x , 是[0, ] 上的正交系；
2 （3）1, cos x , cos 2x ,, cos nx , 是[0, ] 上的正交系； （4）1, sin x , sin 2x ,, sin nx , 不是[0 , ] 上的正交系．
0
所以， sin x , sin 3x ,, sin(2n 1)x , 是[0, ] 上的正交系． 2
（3）由于 m , n N , m n ，有
cos mx cos nxdx 1
[cos(m n)x cos(m n)x]dx
0
20
1 2
[
m
1
n
sin(
m
n)
x
0
m
1
n
2
k
2
)
0 ,
(e a
e a
)
,
a0, a0,
bk
1
f
(x)
sin
kxdx
1
e ax
sin
kxdx
(1)k k
(a
2
k
2 )
0 ,
(e a
ea ) ,
a0, a0,
k 1, 2, ．
所以，当 x 时，
f
(x)
e ax
～
2 a
sh(a )
2
sh(a )
k 1