习题1212-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。

解：（1）具有MeV 10动能的电子，可以试算一下它的速度：212k mv E =⇒v c ==>光速，所以要考虑相对论效应。

设电子的静能量为20m c ，总能量可写为：20k E E m c =+，用相对论公式：222240E c p m c =+，可得：p=h p λ==348-= 131.210m -=⨯；（2）对于具有MeV 10动能的质子，可以试算一下它的速度：74.410/v m s ===⨯，所以不需要考虑相对论效应。

利用德布罗意波的计算公式即可得出：34159.110h m p λ--====⨯。

12-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。

解：（1）用非相对论公式：34127.7610h m p λ--====⨯； （2）用相对论公式：设电子的静能为20m c ，动能为：k E eU =，由20222240E eU m c E c p m c=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，有：127.6710m λ-==⨯。

12-3．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm ，试求两者的动量只比以及动能之比。

解：动量为 λhp = 因此电子与光子的动量之比为 1=γp p e ； 电子与光子的动能之比为 322104222)(2-⨯====.cm h m ch pc m p E E e e e k ke λλλγ12-4．以速度3610/v m s =⨯运动的电子射入场强为5/E V cm =的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：利用能量守恒，有：212E mv eU =+，考虑到h p λ==有：222211111[()][()]222h h U mv mv e m e m λλ=-=- 342313219311011 6.6310[()9.1110(610)]2 1.6109.111010-----⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 19172310(4.8210 3.2810)150.63.2V --↑=⨯-⨯=太小，舍去， 利用匀强电场公式U E d =有：150.60.301500U d m E ===。

12-5．用电子显微镜来分辨大小为1nm 的物体，试估算所需要电子动能的最小值。

（以eV 为单位） 解：由于需要分辨大小为1nm 的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1nm ， 由hp λ=，有电子的动量为：342596.6310 6.6310/10p kgm s ---⨯==⨯； 试算一下它的速度：255310 6.63107.2810/9.1110p v m s c m --⨯===⨯<<⨯光速， 所以不考虑相对论效应，则利用202k p E m =，有电子动能的最小值： 2521931(6.6310) 2.41029.1110k E J ---⨯==⨯⨯⨯ 1.5eV =。

12-6．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。

解：由不确定关系：x p h ∆⋅∆≈，有3423106.6310 6.6310kg m/s 0.110h p x ---⨯∆≈==⨯⋅∆⨯， 由2k e E E m c =+，可推出：223152 6.6310 1.2410J k p p E E p p m m --⎛⎫∆=∆=∆=∆= ⎪=⨯=⨯。

12-7．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。

解：能量hc E h νλ==，由于激发能级有一定的宽度E ∆，造成谱线也有一定宽度λ∆，两者之间的关系为：2hc E λλ∆=∆，由不确定关系，/2E t ∆⋅∆≥，平均寿命t τ=∆，则： 22224t E h c c λλτλπλ=∆===∆∆∆10211812(4340.510)5104 3.1431010s ---⨯==⨯⨯⨯⨯⨯。

12-8．若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号，时距为91(10s)ns -，计算该信号的波长宽度λ∆。

解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：x c t ∆=∆，由不确定关系：2x p x ∆⋅∆≥，有：2224x x p λλπλλ∆==≈∆∆∆ ∴722389(6.310) 1.3231031010nm c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯。

12-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ，式中L ∆为粒子角动量的不确定度，θ∆为粒子角位置的不确定度。

证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r ，角动量为：L rmv r p ==，则其不确定度P r L ∆=∆，而做圆周运动时：θ∆=∆r x ，利用：P x h ∆⋅∆≥代入，可得到：h L ≥∆∆θ。

12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率。

设粒子的势能分布函数为：()00()0U x x L U x x x L=<<=<⎧⎨∞>⎩，，和 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0x L <<之间运动时，其定态归一化的波函数为：()0()00n nn x x x L l x x x L πψ=<<ψ=<>⎧⎪⎨⎪⎩，，和， 概率密度为：22()sin 0n n P x x x L l lπ=<<， 粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率：2302112()sin sin 323ln n n P x x l l n πππ==-⎰， 如果是基态，1n =，则202112()sin sin 0.19519.5%323l n P x x l l πππ==-==⎰。

12-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽m 1014-=L 。

（1）质子的零点能量有多大？（2）由2=n 态跃迁到1=n 态时，质子放出多大能量的光子？解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：2228n h E n mL = 1n =时为零点能量：2342131227142(6.6310) 3.291088 1.6710(10)h E J m L ----⨯===⨯⨯⨯⨯。

（2）由2n =态跃迁到1n =态时，质子放出光子的能量为：21321121)9.8710E E E E J -∆=-=-=⨯(。

思考题1212-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。

证明：设电子轨道的半径为n r ，则电子轨道的周长为2n r π，需要证明2n r n πλ=。

玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：222002n h r n r n meεπ==而电子的德布罗意波长：2022h n me ελ==（∵2204281h me n E n ε=）可见电子轨道：2220022222n h h r n n n n me me εεππλπ==⋅=，是德布罗意波长的整数倍。

12-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。

12-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，S 为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，F 为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板A ，1S 、2S 分别为上、下方电子束的虚电子源，21SS S S =，底板A 离源S 的距离为D ，设a D >>，电子的动量为p ，试求：（1）电子几率密度最大的位置；（2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。

答：（1）电子的德布罗意波长：ph =λ，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在2D D h d a pλ±=±⋅之间； （2）相邻暗条纹的距离：2D D h x d a p λ∆==。

12-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图a 所示，对应的总能量为eV 4，若它处于另一个波函数（如图b 所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：20n E E n = 。

在a 图中，2n =，知22024E E eV =⋅=，所以粒子的零点能01E eV =；若它处于另一个波函数（图b 所示，3n =）的态上时，它的总能量是：2230039E E n E eV ===。

12-5．图中所示为一有限深势阱，宽为a ，高为U 。

（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。

答：（1）第I 区域定态薛定谔方程：21122()2()0d x mE x d xψψ+=，（24a a x -<<）， 第II 区域定态薛定谔方程：22222()2()()0d x m E U x d xψψ-+=，（2a x <-和2a x >）； 边界条件：1222a a ψψ-=-()()，1222a a ψψ=()()。

（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为22222nE nm aπ=，最低能量值22122Emaπ=，显然与a的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。