第2章 电磁场基本方程2.1 / 2.1-1设空气中有一半径为a 的电子云，其中均匀充满着密度为ρv 的电荷。

试求球内（r<a ）和球外（r>a ）任意点处的电通密度D 和电场强度E 及D ⋅∇和E ⋅∇。

[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.dv r rD s d D svv⎰⎰=⋅=⋅ρπ24ˆ1) r<a:334r dv vvv πρρ⎰=3ˆ,3ˆερρrrE rrD v v ==∴0,31022=⨯∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E rr r r D v v ρερ 2) r>a:334a dv vvv πρρ⎰=203233ˆ,3ˆra r E ra rD v v ερρ==∴ 0,03132=⨯∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E ar r D v ρ 2.2 / 2.1-2设空气中内半径a 、外半径b 的球壳区域内均分布着体密度为ρv 的电荷。

试求以下三个区域的电场强度E E ⋅∇、及E ⨯∇：(a)r<a ；(b)a<r<b ；(c)r>b.[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.dv r rD s d D svv⎰⎰=⋅=⋅ρπ24ˆ(a) r<a:0=⎰dv vvρ0,0==∴E D 0,0=⨯∇=⋅∇E E(b) a<r<b:()3334ar dv vvv -=⎰πρρ()()33203323ˆ,3ˆarrrE a rrrD v v -=-=∴ερρ()0,3103302=⨯∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=⋅∇E a r r r E v v ερερ(c) r>b:()3334ab dv vvv-=⎰πρρ()()33203323ˆ,3ˆabrrE a brrD v v -=-=∴ερρ0,0=⨯∇=⋅∇E E2.3 / 2.1-3一半径等于3cm 的导体球，处于相对介电常数εr =2.5的电介质中，已知离球心r=2m 处的电场强度E=1mv/m ，求导体球所带电量Q 。

[解] 由高斯定理知, Q r E =⋅24πεC E r Q 123921011.1105.210361444---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==∴ππεπ2.4 / 2.1-4 一硬同轴线内导体半径为a ，外导体内外半径分别为b 、c ，中间介质为空气（题图2-1）。

当内外导体分别通过直流I 和-I 时，求：(a)内导体（ρ<a ）；(b)内外导体之间（a<ρ<b ）；(c)外导体中（b<ρ<c ）三个区域的B H 、和B H ⋅∇⨯∇、。

[解] (a) :a r <应用安培环路定律，222022aIl d d aIH l d Hl==⋅=⋅⎰⎰⎰πρϕρρππρ题图2-1 同轴线横截面图22ˆaI H πρϕ=， 2002ˆaIlH B πμϕμ==J a Iz aI z H ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⨯∇222ˆ21ˆππρρρ 01=∂∂=⋅∇ϕρϕB B(b) :b r a << I H =⋅πρ2πρϕ2ˆI H =, πρμϕ2ˆ0IB =021ˆ=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⨯∇πρρI z H 01=∂∂=⋅∇ϕρϕB B(c) :c r b << ()()222222222bc c Ibbc II H --=-⋅--=⋅ρρπππρ22222ˆbc c I H --=ρπρϕ,222202ˆbc c I B --=ρπρμϕ()J b c Iz bc c I z H '-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂∂=⨯∇222222ˆ21ˆπρπρρ 01=∂∂=⋅∇ϕρϕB B2.5 / 2.2-1 一矩形线圈与载有电流I 的直导线同平面，如题图2-2所示。

求下述情况下线圈的感应电动势： a)线圈静止，I=I 0sin ωt ；b)线圈以速度v 向右边滑动，I=I 0。

[解] (a) 应用安培环路定律,I H I l d Hl==⋅⎰πρ2,πρμρπρρ2ˆ,2ˆI B I H ==∴ab a Ic dldz I dz Bd s d B Cba as c ba am+===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰++ln220πμρπμρψ题图2-2载流直导线与矩形线圈（b ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=-=vt a vt b a c I dt d dtd mln 20πμψε ()()()2012vt a vt b a v vt a v vta vtb a cI +++-+⋅+++-=πμ()()vt a vt b a vbcI +++=02πμ2.6 / 2.2-2一平行板电容器由两块导体圆片构成，圆片半径为a ，间距为d ，d<<a ，其间填充介电常数为ε、磁导率为μ0的介质。

在电容器中心加一正弦电压U=U 0sin ωt 。

(a)求介质中的电场强度和磁场强度；(b)求介质中位移电流总值，并证明它等于电容器的充电电流；(c)设介质电导率为σ，求介质中传导电流与位移电流之比。

若εr =5.5，σ=10-3S/m ，f =3×106Hz ，此比值多大？[解] (a) t dU zE t dU dU E ωωsin ˆ,sin 00===tU dH t U dtD H t D H s d t D J dl H t U dtD l s ωωερϕωωερρπρπρωωεcos 2ˆ,cos 222cos 002011==∂∂=∴∂∂=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⋅=∂∂⎰⎰(b) t U da tD aS J I d d ωωεππcos 022=∂∂==da dA C 2επε==d I t U da dtdU CI ===∴ωωπcos 02. 得证.(c) ,E J c σ= 振幅dU E J m cm 0σσ== ,cos 0t U dtD J d ωωε=∂∂=振幅0U dJ dm ωε=27.310854.85.51023101263=⨯⨯⨯⨯⨯==∴--πωεσdmcm J J2.7 / 2.3-1 麦克斯韦方程组为什么不是完全对称的？[答] 自然界中存在电荷和电流,但并无单独存在的磁荷及磁流; 电场是有散场而磁场是无散场,因而不对称.2.8 / 2.3-2 试由表2.3-1中麦克斯韦方程组（b ）（c ）导出电流连续性方程（e ）。

[解] 由0,0)(=⋅∇∂∂+⋅∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅∇⋅∇D t J t D J b 得 将式(c)代入上式得, 0=∂∂+⋅∇v tJ ρ 此即电流连续性方程(e)2.9 / 2.3-3已知真空中无源区域有时变电场()kz t E xE -=ωcos ˆ0。

a)由表2.3-1的麦克斯韦 方程（a ）求时变磁场H ；b)证明Ω===377/,0000εμεμωH E k 。

[解] (a) ()()t B kz t kE y kz t E x z z y y xx E ∂∂-=-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ωωsin ˆcos ˆˆˆˆ00 ()()C kz t E ky dt kz t kE yB +-=--=∴⎰ωωωcos ˆsin ˆ00时变场中无恒定成分,故C=0,得()00000,cos ˆE kH kz t H yBH ωμωμ=-==(b) 由Maxwell 方程(b),()kz t E xtE tD H --=∂∂=∂∂=⨯∇ωωεεsin ˆ000又, ()()kz t E kxkz t E ky z z y y xx H --=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ωωμωωμsin ˆcos ˆˆˆˆ00200从而得000022,εμωεμω==k kΩ==⨯⨯====--377120103611049700000πππεμεμωωμωμkH E2.10 / 2.3-4 设z y x E z E y E xE ˆˆˆ++=，请导出矢量波动方程（2.3-2）的三个标量方程。

[解] ()E E E ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⨯∇-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∇=x E z E z y E x E y x z E y E x E z z y y x x y E x E z x E z E y zE y E x z E y E x E z xxy z y xx y z xy z zy x ˆˆˆˆˆˆˆ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-z E y E y x E zE x z y E x E x z E y E zy y zz x x yy zˆˆ ,ˆˆˆˆ_ˆˆ222222222222222222222z y x z z z y y y z x x E z E y E xz E y E x E z z E y E x E y z E y E x E x ∇+∇+∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=式中2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇由有,0222=∂∂-∇tE E με⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇=∂∂-∇000222222222t E E y E E t E E z z y y xx μεμεμε2.11 / 2.3-5 试证：在简单媒质中存在场源00≠≠v J ρ，时，电场强度E 和磁场强度H 分别满足非齐次矢量波动方程（2.3-4）和（2.3-5）。

[证] 由Maxwell 方程组(a )、(b)及(c)得()()()()H ttB D E E E v ⨯∇∂∂+∇=∂∂⨯∇+⋅∇∇=⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇μρεε112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∇=221t D t J Vμρεv tJ tE E ρεμμε∇+∂∂=∂∂-∇∴1222由Maxwell 方程组(a )、(b)及(c)可得()()()2221t HJ E t J t D j B H H ∂∂+⨯-∇=⨯∇∂∂-⨯-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇-⋅∇∇=⋅∇∇=∇μεεμ J tH H ⨯-∇=∂∂-∇∴222με2.12 / 2.3-6 应用麦氏方程组导出RLC 并联电路的下述电流方程：dt U L dtdU CR U I ⎰++=1[解] 由Maxwell 方程组 (b '),s d t D J l d H l s ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰1对a 端环线1l 所围截面S,有⎰=⋅ss d J 0故03210=+++I I I I U对R: R I l AI l Jl d JU baab 11===⋅=⎰σσσ,1RU I ab =∴ AlR σ=对L: dtdI Ldtd U mab 2==ψ d t ULI ab⎰=∴12对C: dtdU C I ab=3令,,0I I U U ab -== 得⎰++=dtdU CUdt LR U I 12.13 / 2.4-1 验证2.1-1题r=a 处的电场边界条件。