《垂径定理》教案
教学目标
知识与技能
1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证.
2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算.
过程与方法
在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力.
情感态度
通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点
垂径定理及运用.
教学难点
用垂径定理解决实际问题.
教学过程
一、情境导入，初步认识
教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下:
①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？
(在纸片上对折操作)
【教学说明】
(1)是轴对称图形，对称轴是直线CD.
(2)AM=BM，AC BC AD BD
，.
==
二、思考探究，获取新知
探究1垂径定理及其推论的证明.
1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程.
已知:直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M.
求证:AM=BM，AC BC AD BD
，
==
【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得AC BC AD BD
，.
==
2.得出垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.学生讨论写出已知、求证，并说明.
学生回答:
【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O)，CD为⊙O的直径，AB交CD
于点M，MA=MB.
示证:CD⊥AB，AC BC AD BD
，.
==
证明:在△OAB中，∵OA=OB，MA=MB，∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径，∴
==
，.
AC BC AD BD
4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？
学生回答:
【教学说明】当AB为⊙O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直.
探究2垂径定理在计算方面的应用.
例1如课本图，弦AB=8cm，CD是圆O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求圆O的直径CD的长.
例2已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD间的距离.
解:(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC.∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm，OM22
OA AM
-12cm.在Rt△OCN中，CN=12cm，ON22
-5cm.∵MN=OM-ON，∴MN=7cm.
OC CN
(2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由(1)可知OM= 12cm，ON=5cm，MN=OM+ ON，∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.
【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去.
2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD 在O点的两侧.
探究3与垂径定理有关的证明.
例3证明：圆的两条平行线所夹的弧相等.已知：如课本图，在圆O中，弦AB与弦CD平行.证明：弧AC等于弧BD.
【教学说明】1.作直径EF⊥AB，∴AE BE
=.
又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.
∴CE DE
=.
∴AE CE BE DE
-=-，即AC BD
=.
2.说明直接用垂径定理即可.
练习题：如课本图，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，AC=8cm，AB=10cm，OD⊥B C于点D，求BD的长.
三、运用新知，深化理解
1.(湖北黄冈中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，
则⊙O的直径为()
A.8
B.10
C.16
D.20
2.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，-4)，N(0，-10)，函数
k
y
x
= (x
＜0)的图象过点P，则k=______.
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE
⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形.
【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线(弦心距)，然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.
2.求k值关键是求出P点坐标.
3.利用垂径定理，由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形.
【答案】1.D2.28
3.解:由OE⊥CA，OD⊥AB，AC⊥AB，∴四边形ADOE为矩形.再由垂径定理；AE=1 2 A
C，AD=1
2
AB，且AB=AC，∴AE=AD，∴矩形EADO为正方形.
课堂小结
圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；垂径定理及推论中注意“平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；注意计算中的两种情况.
课后作业
1.教材习题
2.
3.
2.完成同步练习册中本课时的练习.。