中分析各分量。在图2的圆柱坐标 (r、、z)
中，在弹性层状体系内微分单元体上，应力 分量有三个法向应力 r、、和 z及, 三对剪应力：
rz zr , r r , z z
• 当层状体系表面作用着轴对称荷载时， 各应力、形变和位移分量也对称于对称 轴，即它们仅是r和z的函数。因而,
r r 0, z z 三0 对剪应力只剩下
荷载面中轴处的弯沉值 0 限定为1mm，求面
层应有的厚度h。
解：由
0
2 p
E0
0
可得
0
0E0 2 p
0.1 65 2 0.5 14
0.464
E0
E1
65 280
0.232, 从纵轴E0
E1
0.232
处引一水平线，同 0 0.464 的曲线相交作一垂线与横轴相 交得：
h D 0.66, h 0.66 28 18.5cm
，已制
成计算软件，可计算距荷载作用面中心轴r 处的路表弯沉值。
图4 弹性层状体系单圆均布荷载弯沉计算诺谟图
[例1] 已知 p 0.5MN / m2 , 14cm, E0 45MN / m2 , E1 180 MN / m2 , h 20cm
求荷载作用面中轴处的弯沉 0 。
解： E0
E1
整个路面结构在力学性质上属于非线性的弹粘-塑性体。
由于不同材料层组成的路面结构的抗疲劳性 能和使用的耐久性，不允许各结构层在行车 作用下产生塑性变形的累加，尽量将变形控 制在弹性工作阶段，加之高等级道路较厚的 结构厚度、较高的强度、行车作用的瞬时性 （通过路面某点百分之几秒），将其视作线 性弹性体，应用弹性层状体系理论进行分析 和计算路面结构的应力、应变和位移。
22 0 （6）
如果能从（6）式中解得应力函数，代入 （5）式中即得各应力分量，如将各应力分 量代入（2）式中则得形变分量。
由（5）、(2)及（3）式可得以应力函数表 示的位移力量，即：
u 1 2
E rz
(7)
1 [2(1 ) 2 2 ]
E
z 2
将解得的应力函数代入上式可以得到位移 分量表达式。
2 zr
zr
r2
1
1
2 r z
0
式中
2 2 1 2 ； r 2 r r 2 z 2
如果引用应力r 函数
z
（r，z），并把应力
分量表示成为：
r
z
( 2
2
) r 2
z
(2 1
r
)
r
z
[(2 )2
z
2
] z 2
(5)Leabharlann zrrz[(1 )2
r
2 ]
z 2
则将（5）式代入（1）式及（4）式中， （1）式的第一个方程自然满足，其余各方 程的共同要求是：
基本假设：
1 每一层均由均质各向同性的以及位移和形 变是微小的线性弹性材料组成，其弹性参数以 回弹模量和泊松比表征；
2 最下层在水平方向和垂直向下方向为无限大 (弹性半空间体)，其上各层在水平方向无限延 伸但竖向具有一定厚度hi；
3 层间接触：各层分界面上的应力和位移完全 连续（称连续体系）或者竖向的应力和位移连 续而层间的摩阻力为零（称滑动体系）；
r
1 E
[
r
(
z )]
1 E
[
( z
r )]
z
1 E
( z
( r
)]
（2）
zr
2(1 E
)
zr
又知轴对称课题的几何方程为：
r
u r
；
u r
；
z
z
(3)
变形连续方程为：
2 r
2 r2
( r
）
1
1
2 r 2
0
2
2 r2
( r
)
1
1
1 r
r
0
2 z
1
1
2 z 2
0
(4)
面中心轴r处的路面垂直位移（以下称弯沉）图3
r
2 P
E0
r
E0—路基回弹模量。
E1、h1—上层材料的回弹模量（ MN / m2）和厚度 （cm）；
r --双层体系表面距荷载作用面中心轴r处 弯沉系数，其解为含有贝赛尔函数的积分，
其值为 h / 2 和 E0 / E1 的函数。
即
r f (h / D，E0 E1 ）
4 各层在水平方向无限远处及最下一层无限深 处的应力、形变和位移均为零。
5 不计自重：
y dz
x
θ
σr
r
dθ
z
r
zr
d
σz dr
z
r
r
r
dr
d
r
r r
dr
z
z
z
d
rz
rz r
dr
z
z r
dr
图2圆柱坐标系中微分单元体受力分析图
• 求解时，将车轮荷载简化为圆形均布荷载（ 垂直荷载与水平荷载），并在圆柱坐标体系
求解方程（6）的方法有分离变量法和积分 变换法，习惯上多采用汉克尔积分变换法。 由汉克尔变换求得解为：
（r, z)
0
[(A
BZ)ez
(C
DZ)ez
]J 0
(r)d
(8)
式中：J（0 r) ---第一类零阶贝塞尔函数；
A，B，C，D---待定系数，由弹性层状体 系的层间连续条件和边界条件确定。
1基本假设与解题方法
道路路面结构体系的特点：层状结构 坐落在路基上，路基坐落在无限深的 地基上。
受力特点：承受复杂荷载多次不均匀 重复作用，本来是弹—粘—塑性，各 向异性的动力学问题，简化成圆形均 布静载作用在弹性层状体系上，见图 1和图2
p
h1
E1, 1
hi
Ei , i
En , n
图1弹性层状体系示意图
一对 rz 。zr 下面以这种轴对称的情
形为例，简述弹性层状体系各分量的求 解方法。
• 由弹性力学得知，对于以圆柱坐标表示 的轴对称课题，其平衡方程（不计体积 力）为：
r zr r 0
r z
r
（1） z rz rz 0
z r r
表示体系内任一点应力形变关系的物理方 程为：
将（8）式代入（5）和（7）式可得各应力分量和位 移分量表达式。对于某种特定的荷载、体系层数与 层间连续条件，式中的待定系数就可以确定。
p
h
E1, 1
E0 , 0
r
z
图3双层连续体系受单圆均布荷载计算图式
当表面作用有单圆当量圆的半径为 的圆形均布垂 直荷载 p，利用弹性理论，可求解得到距荷载作用
45 180
0.25，h D
20 28
0.714
由图4从纵轴 E0 E1 0.25 处绘水平线，横轴h/D=0.714处绘 竖直线，两线交点同图中曲线（ 0 ）相截，沿曲线查
得： 0 0.46 ，
则
0
2 p
E0
0
2 0.5 14 45
0.46
0.143 cm
例2：
已知： P 0.5MN / m2 , 14cm, E0 65MN / m2 , E1 280 MN / m2