第十二章 数项级数 1、级数的收敛性
定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21 （1）
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项.
数项级数（1）也常写作:
∑∞
=1
n n
u
或简单写作
∑n
u
.
数项级数（1）的前n 项之和，记为
n n
k k n u u u u S +⋅⋅⋅++==∑=211
， （2）
称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和.
定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S
n
n =∞
→lim ），则称数项级
数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u S 21或∑=n u S .
若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散.
定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有
p m m m u u u ++++⋅⋅⋅++21<ε. （6）
定理12.2 若级数∑n
u
与
∑n
υ
都收敛，则对任意常数,,d c 级数
()∑+n n
d cu
υ亦收
敛，且
()∑∑∑+=+.
n n n n
d u c d cu
υυ
定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。

正向级数
定理12.5 正项级数
∑n
u
收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ，
对一切正整数n 有n S <M .
定理12.6（比较原则） 设∑n
u
与
∑n
υ
是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对
一切n >N 都有，n n u υ≤，则
（i ）若级数
∑n
υ
收敛，则级数
∑n
u
也收敛；
（ii ）若级数∑n
υ
发散，则级数
∑n
υ
也发散.
推论 设
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n u u u υυυ2121,
()()43
是两个正项级数，若
,
lim l u n
n
n =∞
→υ
则
（i ）当+∞<<l 0时，级数（3）、（4）同时收敛或同时发散； （ii ）当0=l 且级数（4）收敛时，级数（3）也收敛； （iii ）当+∞=l 且级数（4）发散时，级数（3）也发散.
定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设∑n
u
为正项级数，且存在某正整
数0N 及常数().10<<q q
（i ）若对一切,0N n >成立不等式
,1
q u u n n ≤+
则级数
∑n
u
收敛.
（ii ）若对一切,0N n >成立不等式
,11
≥+n n u u
则级数∑n
u
发散.
推论1（比式判别法的极限形式） 若
∑n
u
为正项级数，且
,
lim
1
q u u n
n n =+∞→
则
（i ）当1<q 时，级数
∑n
u
收敛；
（ii ）当1>q 或+∞=q 时，级数
∑n
u
发散.
推论2 设
∑n
u
为正项级数.
（i ）若
11
______
lim <=+∞→q u u n
n n ，则级数收敛； （ii ）若
11
______
lim >=+∞→q u u n
n n ，则级数发散. 定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑n
u
为正项级数，且存在某正数0N 及
常数l ，
（i ）若对一切,0N n >成立不等式
,1<≤l u n
n
则级数
∑n
u
收敛；
（ii ）若对一切,0N n >成立不等式
,
1≥n
n u
则级数
∑n
u
发散.
推论1（根式判别法的极限形式） 设
∑n
u
为正项级数，且
,
lim
l u n
n n =∞
则
（i ）当1<l 时，级数
∑n
u
收敛；
（ii ）当1>l 时，级数
∑n
u
发散.
推论2 设
∑n
u
为正项级数，且
,
lim
______
l u n
n n =∞
→
则当
（i ）1<l 时级数收敛； （ii ）1>l 时级数发散.
定理12.9 设f 为[)+∞,1上的非负减函数，那么正项级数()∑n f 与反常积分()⎰+∞
1
dx
x f 同时收敛或同时发散.
定理12.10（拉贝判别法） 设
∑n
u
为正项级数，且存在某正整数
N
及常数
r ，
（i ）若对一切N
n 0
>
，成立不等式
,
111>≥⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-r u u n n n
则级数
∑n
u
收敛；
（ii ）若对一切N
n 0
>
，成立不等式
,
111≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-n n u u n
则级数
∑n
u
发散；
推论（拉贝判别法的极限形式） 设
∑n
u
为正项级数，且极限
r
u u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim
存在，则
（i ）当1>r 时，级数
∑n
u
收敛；
（ii ）当1<r 时，级数∑n
u
发散.
2、一般项数级数
定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数
()⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-+n n u u u u u 1
43211 (),,2,1,0⋅⋅⋅=>n u n （1）满足下述两个条件：
（i ）数列{}n u 单调递减； （ii ）
,0lim =∞
→n
n u
则级数（1）收敛.
推论 若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为.1+≤n n u R 定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛.
定理12.13 设级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数. 级数的乘积
设有收敛级数
,
,2121B v v v v
A u u u u n n
n n
=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∑
()()
32 把级数（2）与（3）中的每一项所有可能的乘积列成下表：
这些乘积j i v u 可以按各种方法排成不同的级数.
定理12.4（柯西定理） 若级数（2）（3）都绝对收敛，则对（4）中的所有乘积j i v u 按任意顺序排列所得的级数
∑n
w
也绝对收敛，且其和等于.AB
引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换） 设()n i v i i ,,2,1,⋅⋅⋅=ε为两组实数，若令
k k v v v +⋅⋅⋅++=21σ (),,,2,1n k ⋅⋅⋅=则有如下分部求和公式成立：
()()().111232121
1
n n n n n n
i i i v σεσεεσεεσεε
ε+-+⋅⋅⋅+-+-=--=∑
推论（阿贝耳引理） 若
（i ）n εεε,,,21⋅⋅⋅是单调数组；
（ii ）对任一正整数()n k k ≤≤1有A k ≤σ(这里k k v v +⋅⋅⋅+=1σ)，则记
（4）
{}k k
εεmax =时，有.31
A v n
k k k εε≤∑=
定理12.5（阿贝耳判别法） 若{}n a 为单调有界数列，且级数
∑n
b
收敛，
则级数
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑n n n
n b a b a b a b
a 2211（5）收敛.
定理12.6（狄利克雷判别法） 若数列{}n a 单调递减，且,0lim =∞
→n
n a
又级数∑n b 的部分
和数列有界，则级数（5）收敛.
第十三章 函数列与函数项级数 1、
第十四章 幂级数 第十五章 傅里叶级数
第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分
第二十三章 流形体上微积分初阶段。