(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
2 2
2 T ）. 3
（ξ 3，β 2） 1 β 2 = ξ 2 = ( 2,1,0) ，β 3 = ξ 3 β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
再单位化， 再单位化，得：
2 1 2 4 5 T T , η2 = ( ,0) ，η3 = ( , , ) 5 5 3 5 3 5 3 5
1 3 2 η3 ) = 3 2 3 2 5 1 5 0 2 3 5 4 3 5 5 3 5
Q = (η1 η 2
7 1 Q AQ = Λ = 2 2
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： 用正交阵将实对称矩阵 化为对角阵的步骤： 化为对角阵的步骤 (i ) 求出A的所有相异的特征值λ1 , λ2 , L , λm ;
则
4 0 0 ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 4λ A λE = 0 0 0 3λ 1 0
2 1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令η i = ξi
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . 1 2 0 1 2
对应特征值 λ i ( i = 1,2,L , s ), 恰有 r i 个线性无 关的实特征向量 , 把它们正交化并单位化 ,即得 r i 个 单位正交的特征向量 . 由r1 + r2 + L + rs = n知,
这样的特征向量共可得 n 个. 由性质2知对应于不同特征值的特征向量正交， 由性质 知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
4.3 实对称矩阵的相似对角化
一 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二 实对称矩阵相似对角化 三 矩阵的合同
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 性质1 实对称矩阵的特征值都是实数。 性质 ：实对称矩阵的特征值都是实数。 设λo是n阶实对称矩阵 A的特征值, α = ( a1 , a 2 , L , a n )T 两边取共轭，得： 是对应的特征向量 , 即Aα = λoα， A α = λoα (1) A = ( aij ) n × n , α = ( a1 , a 2 , L , a n )T ,
T T
性质1的意义 性质1 由于实对称矩阵 A的特征值 λ i 为实数 , 所以齐次
线性方程组 ( A λ i E)x = 0
系, 从而对应的特征向量可 以取实向量 .
是实系数方程组 ,由 A λ i E = 0知必有实的基础解
推论 n 阶实对称矩阵有 n 个实特征值
（重根按重数计算） 重根按重数计算） 注意：一般 阶实矩阵的特征值虽然一定有 阶实矩阵的特征值虽然一定有n个 重根 注意：一般n阶实矩阵的特征值虽然一定有 个(重根 按重数计算)，但不一定都是实数。 按重数计算 ，但不一定都是实数。
由于A为实对称阵，故 A = A = A
T T T
T (1)两端取转置，得： 两端取转置， 两端取转置
α A = λoα α A = λoα 两端同时右乘 α α T Aα = λoα T α λoα T α = λoα T α 2 T T ( λo λo )α α = 0 Q α α = α ≠ 0 ∴ λo = λo
对 λ2 = 1,由( A E ) x = 0, 得
x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x + x = 0 2 3
2 解之得基础解系 ξ 2 = 1 . 2
对 λ3 = 2,由( A + 2 E ) x = 0, 得
1 4 x1 + 2 x2 = 0 2 x1 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系ξ 3 = 2 . 2 2x 2x = 0 2 3
T 1
例：设1 1 1是三阶实对称方阵A的3个特征值， ， ，
α1 = 1，1）, α 2 = 2， 1）是A的属于特征值1的 （ 1 ， （ 2，
T T

特征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 设A的属于特征值 1的特征向量为 α 3 = x1，x2，x3） , （
∴ = Qα 3与α1 ,α 2正交， （ α 3 , α 1） （ α 3 , α 2）= 0
1
Τ
1 2 2 例1 ：设A = 2 2 4 2 4 2 (1)求可逆阵P，使P 1 AP为对角阵。 (2)求正交阵Q，使Q 1 AQ为对角阵。 1 λ A λE = 2 2 2 2λ 4 2 4 2λ
2
= ( λ + 7)( λ 2)
λ1 = 7, λ2 = λ3 = 2.
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性 无关的特征向量恰有k个。
性质3也可叙述为： 性质 也可叙述为： 也可叙述为
设 A为 n阶对称矩阵, λ0 是A的特征方程的k重根, 则矩阵 A λ0 E 的秩 r ( A λ0 E ) = n k , 从而 对应特征值 λ0 恰有k 个线性无关的特征向量.
设A为n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P, 使P 1 AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元素的 对角矩阵 .
证明 设A 的互不相等的特征值为 λ1 , λ2 ,L, λ s , 它们的重数依次为 r1 , r2 ,L, rs ( r1 + r2 + L + rs = n). 根据性质1（实对称矩阵的特征值为实数） 根据性质 （实对称矩阵的特征值为实数）和 性质3(实对称矩阵 实对称矩阵A的 重特征值所对应的线性无关 性质 实对称矩阵 的k重特征值所对应的线性无关 的特征向量恰有k个 可得 可得： 的特征向量恰有 个)可得：
(iv ) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时 Q 1 AQ = Q T AQ = Λ为对角阵。
即：
λ1 λ2 1 Q AQ = Λ = .... λn 1 λn
必须注意： 必须注意：对角阵中 λ1 , λ2 ,L , λn 的顺序
第三步 将特征向量正交化 由于ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ 2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化
ξi 令 ηi = , i = 1,2,3. ξi
23 2 3 1 3 η2 = 1 3 , η = 2 3 . 得 η1 = 2 3 , 3 2 3 1 3 2 3 2 2 1 1 1 2 , 作 P = (η1 , η 2 , η 3 ) = 2 3 1 2 2 4 0 0 1 P AP = 0 1 0 . 0 0 2
0 2 A λE = 2 1 λ 2 = (4 λ )(λ 1)(λ + 2) = 0 0 2 λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = 2.
2λ
( A 第二步 由 A λi E) x = 0,求出 的特征向量
对 λ1 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得
2 x1 + 2 x2 = 0 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . 1 2x + 4x = 0 2 3
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 由此推出：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 一定与对角矩阵相似
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。