算法分析与设计习题集整理第一章算法引论一、填空题：1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。

2、多项式10()m m A n a n a n a =+++L 的上界为O(n m)。

3、算法的基本特征：输入、输出、确定性、有限性 、可行性 。

4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：时间复杂度、空间复杂度。

5、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 3) 。

for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){c[i][j]=0;for(k=1;k<=n;k++)c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}6、描述算法常用的方法：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD 图。

7、算法设计的基本要求：正确性 和 可读性。

8、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 2) 。

for （i ＝1；i<n; i++）{ y=y+1;for （j ＝0；j <=2n ；j++ ）x ＋＋；}9、计算机求解问题的步骤：问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。

10、算法是指解决问题的 方法或过程 。

二、简答题：1、按照时间复杂度从低到高排列：O( 4n 2)、O( logn)、O( 3n )、O( 20n)、O( 2)、O( n 2/3),O( n!)应该排在哪一位？答：O( 2)，O( logn)，O( n 2/3)，O( 20n)，O( 4n 2)，O( 3n )，O( n!)2、什么是算法？算法的特征有哪些？答：1）算法：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。

2）特征：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性 ； ４)有穷性3、给出算法的定义？何谓算法的复杂性？计算下例在最坏情况下的时间复杂性？for(j=1;j<=n;j++) (1)for(i=1;i<=n;i++) (2) {c[i][j]=0; (3)for(k=1;k<=n;k++) (4)c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } (5)答：1）定义：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

2）算法的复杂性：指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。

所需资源越多，表明算法的复杂性越高3）该算法的主要元操作是语句5，其执行次数是n 3次。

故该算法的时间复杂度记为O(n 3).4、算法A 和算法B 解同一问题，设算法A 的时间复杂性满足递归方程⎩⎨⎧>+===1n , n )2/n (T 4)n (T 1n , 1)n (T ， 算法B 的时间复杂性满足递归方程⎩⎨⎧>+===1n , n )4/n (aT )n (T 1n , 1)n (T ，若要使得算法A 时间复杂性的阶高于算法B 时间复杂性的阶，a 的最大整数值可取多少？答：分别记算法A 和算法B 的时间复杂性为)n (T A 和)n (T B ，解相应的递归方程得：)n (O )n (T 2A = ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=4a , )n(O 4a , )n log n (O 4a , )n (O )n (T a log B 4依题意，要求最大的整数a 使得)n (T B 〈)n (T A 。

显然，当a<=4时，)n (T B 〈)n (T A ；当a>4时，)n (T B 〈(n)T A ⇔2a log 4< ⇔a<24=16。

所以，所求的a 的最大整数值为15。

5、算法分析的目的？答：1)为了对算法的某些特定输入，估算该算法所需的内存空间和运行时间；2)是为了建立衡量算法优劣的标准，用以比较同一类问题的不同算法。

6、算法设计常用的技术？（写５种）答： ①分治法; ②回溯法； ③贪心法； ④动态规划法⑤分治限界法 ； ⑥蛮力法； ⑦倒推法三、算法设计题1、蛮力法：百鸡百钱问题？2、倒推法：穿越沙漠问题？第二章分治算法（1）----递归循环一、填空题：1、直接或间接地调用自身的算法称为递归算法，用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

2、递归方程和约束函数（递归终止条件）是递归函数的两个要素。

二、判断题：1、所有的递归函数都能找到对应的非递归定义。

（√）2、定义递归函数时可以没有初始值。

（ X ）三、简答题：1、什么是递归算法？递归算法的特点？答：1 )递归算法:是一个模块（函数、过程）除了可调用其它模块（函数、过程）外，还可以直接或间接地调用自身的算法。

2) 递归算法特点：①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件）②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式）2、比较循环与递归的异同？答：1)相同：递归与循环都是解决“重复操作”的机制。

2)不同：就效率而言，递归算法的实现往往要比迭代算法耗费更多的时间（调用和返回均需要额外的时间）与存贮空间（用来保存不同次调用情况下变量的当前值的栈栈空间），也限制了递归的深度。

每个迭代算法原则上总可以转换成与它等价的递归算法；反之不然。

递归的层次是可以控制的，而循环嵌套的层次只能是固定的，因此递归是比循环更灵活的重复操作的机制。

3、递归算法解题通常有三个步骤？答： 1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题与小规模问题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。

2）设置边界、控制递归：找出停止条件，即算法可解的最小规模问题。

3）设计函数、确定参数：和其它算法模块一样设计函数体中的操作及相关参数。

四、算法设计题：1、楼梯上有n个台阶，上楼时可以上1步，也可以上2步，设计一递归算法求出共有多少种上楼方法F(n)。

①写出F(n)的递归表达式？②并写出其相应的递归算法？解：①写出F(n)的递归表达式分析：到n阶有两种走法：1）n-1阶到n阶；2）n-2阶到n阶；1 n=1F(n) ＝ 2 n=2F(n-1) + F(n-2) n>2②写出其相应的递归算法？Int F(int n){if(n=1) return 1;else if(n=2)return 2;elsereturn F(n-1)+ F(n-2);}2、设a,b,c是3个塔座。

开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。

各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。

在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。

①写出该问题的解题步骤？②并写出其相应的递归算法？解：①第一步：将n－1个盘子看成一个整体，从A移到C；第二步：将第n个盘子移到B;第三步：将n－1个盘子看成一个整体，从C移到B；②写出其相应的递归算法：void hanoi(int n, int a, int b, int c){if (n > 0){hanoi(n-1, a, c, b);move(a,b);hanoi(n-1, c, b, a);} }第二章分治算法（2）分治算法一、填空题：1、在快速排序、插入排序和合并排序算法中，插入排序算法不是分治算法。

2、合并排序算法使用的是分治算法设计的思想。

3、二分搜索算法是利用分治算法思想设计的。

二、简答题：1、适合用分治算法求解的问题具有的基本特征？答：1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决;2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；3）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

4）利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解;2、分治算法基本思想，解题步骤？三、算法设计题：1、改写二分查找算法：设a[1…n]是一个已经排好序的数组，改写二分查找算法，使得当搜索元素x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i，和大于x的最小元素位置j；当搜索元素x在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。

并分析其时间复杂度？解：int binsearch( int a[n], int x ,)3）回溯时将分解的两组解大者取大，小者取小，合并为当前问题的解。

②、③第三章动态规划算法一、填空题：1、动态规划算法中存储子问题的解是为了避免重复求解子问题。

2、（最优子结构）是问题能用动态规划算法求解的前提。

3、矩阵连乘问题的算法可由（动态规划）算法设计实现。

二、判断题：1、动态规划算法基本要素的是最优子结构。

（√）2、最优子结构性质是指原问题的最优解包含其子问题的最优解。

（√）3、动态规划算法求解问题时，分解出来的子问题相互独立。

（ X）三、简答题：1、动态规划算法解题步骤？答：①找出最优解的性质，并刻划其结构特征;（即原问题的最优解，包含了子问题的最优解）②递归地定义最优值;（即子问题具有重叠性，由子问题定义原问题）③以自底向上的方式计算出最优值;④根据计算最优值时得到的信息，构造最优解;2、动态规划算法基本思想？答：动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题；但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。

不同子问题的数目常常只有多项式量级。

在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次；如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

3、动态规划与分治算法异同点？4、动态规划算法的基本要素？四、算法设计与计算题：1、{}12,,,m X x x x =L 和{}12,,,n Y y y y =L 的最长公共子序列为{}12,,,k Z z z z =L 。

问：若用[][]c i j 记录序列{}12,,,i i X x x x =L 和{}12,,,j j Y y y y =L 公共子序列长度。

求：①用动态规划法求解时,计算最优值的递归公式？②设计计算最优值的算法？以及构造最优解的算法？2、长江游艇俱乐部在长江上设置了n 个游艇出租站1,2…n.游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。

游艇出租站i 到游艇出租站j 之间的租金为r(i ，j)，其中1<=i<j<=n ；求：①用动态规划法求解时,计算最优值（最少租金）的递归公式？②设计计算最优值（最少租金）的算法？③并分析其时间复杂度？解：①②计算最优值算法public static void matrixChain(int [] p, int [][] m, int [][] s){int n=;for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;要求：给出Dijkstra 算法的迭代过程，计算源到给个顶点的最短路径？（用表表示）解：见课本123页 表4-2解：迭代过程：第５章 回溯算法一、填空题1、回溯法与分支限界法搜索方式不同，回溯法按 深度优先 搜索解空间，分支限界法按 广度优先或最小耗费优先 搜索解空间。