2.2.1 对数与对数运算（一）教学目标（一） 教学知识点1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化．（二） 能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．（三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？1 8% =2 x=?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容：aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ；∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ．定义：一般地，如果 数，记作 log a Nb ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a blog a Nb例如：42 16 log 4 16 22102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。
142 2log 42 12 ；是不是所有的实数都有对数？10 2 0.01 log 10 0.01 2．log a Nb中的 N 可以取哪些值？2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？log a a ？⑷常用对数：我们通常将以 10为底的对数叫做常用对数． 为了简便 ,N 的常用对数 log 10 N 简记作 lgN ． 例如： log 10 5简记作 lg5 ； log 10 3.5简记作 lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828 ⋯⋯为底的对数，以 e 为底的对数叫自然对 数，为了简便， N 的自然对数 log e N 简记作 lnN ． 例如： log e 3简记作 ln3 ； log e 10简记作 ln10．6)底数的取值范围 (0,1) (1, ) ；真数的取值范围 (0, ) ．三、讲解范例：例 1 ．将下列指数式写成对数式：例 3 ．求下列各式中的 x 的值：例 4 ．计算： ⑴ log 9 27 ，⑵ log 4381，⑶ log 2 3 2 3 ，⑷ log 3 54 625．解法一：3⑴设 xlog 9 27 则 9x 27, 32x 33, ∴ x 3x⑵设 xlog 43 81则 4 3 81, 34 34,∴ x 16⑶令 xlog 2 3 2 3 =log 2 3 2 3 , ∴ 2 3 2 3 , ∴x 1x 4⑷令 x log 354625, ∴ 3 54 625, 53x 54, ∴x 3解法二：3 3 3⑴log 9 27 log 933 log 9 92 32；⑶log 2 3 2 3 =log 2 3 2 3 1 1;⑷ log 3 54 625 log 3 54 (3 54)3 3 四、练习 ：( 书 P64`)1) 54 625 (2)26 1643) 3a 271(4) ( 1)m35.73解：(1) log 5 625=4； (2) log 2 1=-6 ；643) log 3 27=a ；4) log 1 5.73 m ．3例 2 ． 将下列对数式写成指数式：(1) log 116 4 ； (2)2log 2128 7 3) lg0.01 2；4) ln10 2.303 ．1解：(1) ( ) 4 16 (2)227 =128； 3)10 2 =0.01 ； 4)2.303e=10．1) log 64 x32； (2)3log x 8 63) lg100 x 4) ln e 2 x⑵ log 4 381 log 43(4 3)16 161. 把下列指数式写成对数式3 5 11 1 1 (1) 23＝８； (２) 25＝32 ； (３) 2 1 ＝ ； (４) 273 ．23五、课堂小结⑴对数的定义； ⑵指数式与对数式互换； 六、课后作业 ：1．阅读教材第 62~64 页； 2 ．作业：《习案》作业二十《对数与对数运算（第一课时） 》教学设计华南师范大学 陈嘉韵教材 新课标人教版高中教材数学必修 1 课题 2.2.1 对数与对数运算第一课时 教学目标 （一） 知识与能力1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系； 2．理解和掌握对数的性质；解：(1) log 2 ８＝３ (2) log 2 32＝５2. 把下列对数式写成指数式(1) log3 ９＝２⑵ log 5 １２５＝３解： (1) 32 ＝９ (2) 53 ＝１２５(3) log 2 1＝－１ (4) log 27 1 ＝－ 12 3 33. 求下列各式的值(1) log 5251⑵ log 22 16⑷ lg 0.01 ⑸ lg 1000011⑶ log 2 ＝－２⑷log 3 ＝－248121(3) 2 2 ＝ (4)34 ＝ 1481⑶ lg 100⑹ lg 0.00012解：(1) log 5 25＝ log 552＝２ (2)log 216(3) lg 100 ＝２(4) lg 0.01 ＝－２ (5)lg 10000＝４ (6)lg 0.0001 ＝－４4. 求下列各式的值(1) log 15 15 ⑵log 0.41⑶ log 981⑷ log 2..5 6.25 ⑸ log 7 343⑹ log 3 243解： (1) log 15 15＝１ (2)log 0.4 1＝０ (3) log 981＝２ (4) log 2..5 6.25 ＝２(5)log 7 343＝３ (6)log 3 243＝５⑶求对数式的值．1＝－４3．掌握对数式与指数式的关系。
（二）过程与方法通过与指数式的比较，引出对数定义与性质（三）情感、态度和价值观1.对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；2．通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；3．在学习过程中培养学生探究的意识；4．让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力。
教学内容分析教学重点对数式与指数式的互化以及对数性质教学难点推导对数性质教学模式讲练结合教学主题掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握教学程序对数教学目标） —对数的文化意义、 对数概念（讲一讲） —对数式与指数式转化 （做 一做）—例题（讲一讲） 、习题（做一做）—两种特殊的对数（讲一讲）—求值（做一做）— 评价、小结—作业。
教学过程一）（说一说）对数的文化意义教师：对数发明是 17 世纪数学史上的重大事件，为什么呢？大家一起来看一下 投影：恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是 17 世教师： 纪数学史上的 3 大成就。
伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。
布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。
对数的发明让天文学家欣喜若狂，这是为什么？（停顿）我们将会发现，对数可以将乘除 法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。
这些都非常有趣。
那么，什么 是对数？对数真的有用吗？对数如何发现？我们带着这些问题，一起来探究对数。
对数的导入）教师：为了研究对数，我们先来研究下面这个问题：P72思考）根据上一节的例 8 我们能从 y 13 1.01x 中，算出任意一个年头 x 的人口总数，那么哪一年的人口达到 18亿， 20亿， 30 亿？ 停顿让学生思考）二）（讲一讲）对数概念教师：在这三个式子中，都是已知（停顿）底数和幂，求指数 节课要解决的问题。
这一问题也就是：若a x N ，已知 a 和N 如何求指数 x （其中， a 0且 a 1） 数学家欧拉用对数来表示 x ，如何表示？一般地，若 a x N （a 0,且 a 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x log a N ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数 .x称a x N 为指数式，称 x log a N 为对数式我们可以由指数式得到对数式，也可以由对数式得到指数式：18 x 20 x即： 1.01x , 1.01x ,13 1.01x, 在个式子中， x 分别等于多少？x 。
如何求指数 x ？这是本x2a Nlog a N x我们要注意到， a x N 中的 a 0且a 1。
因此， log a N x 也要求 a 0且a 1；还有log a N x中的真数 N 能取什么样的数呢？这是为什么？（停顿）这是因为 a 0且a 1，所以 a x N 0 。
因此， log a N x中真数 N 也要求大 于零，即负数与零一定没有对数。
三）（做一做）指数式与对数式间的关系例 1 指数式化为对数式：41 4 31 310 1 1 04 10 0 0 040 1解： 对数式是l og 4 4 1 log 10 1 0 l og 3 3 1 log 41 0log 4 4 1教师：大胆猜测，由log3 3 1由log 101 0 呢？log 41 0停顿，让学生思考）log a 1 0,log a a 1(其中， a 0且a 1) .为什么？ 停顿，让学生思考）即得到上式结论。
把a 1 a,a 0 1（其中， a 0且 a 1）化为对数式 .立4我们还会注意到， 104 10000 ， log 10 10000 4 ，利用对数可以将很大很大的数变为较小的数，减少计算量，以后还会发现，乘除运算便会加减运算，简化运算四）（讲一讲）例题讲解例 2 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：不难得到， 1.01x13的 x 用对数表示就是x log 1.01118313log 10 10000 441)54=625(2)2 6 6141(3)(13)m 5.73(4) l o g 3 9 2 (5) log 5 125 3 (6) log 1 16 4五）（讲一讲）两种特殊的对数：常用对数 log 10 N 记为 lg N ； 自然对数 log e N 记为 ln N ；教师：对数 log a N 的底 a 有何限制 ?（停顿） a 0且a 1a 10 ，我们得到对数 log 10 N 。
称 log 10 N 为常用对数。
通常写成 lg N .当 a e=2.71828⋯ 时，得到对数 log e N ，称 log e N 为自然对数。